2023-2024学年上学期东北师大附中数学学科试卷高三年级第三次摸底考试第I卷(选择题)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则集合子集个数为()A.3 B.4 C.8 D.162.设,则()A. B.1 C. D.23.十九世纪下半叶集合论的创立,奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物,具有典型的分形特征,其操作过程如下:将闭区间均分为三段,去掉中间的区间段,记为第一次操作;再将剩下的两个区间分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作;…,如此这样,每次在上一次操作的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段,同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去,以至无穷,剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于,则需要操作的次数的最小值为(参考数据:)()A.6 B.8 C.10 D.124.命题“”的否定是()A. B.C. D.5.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为()A.26 B.28 C.30 D.326.已知,则()A. B. C. D.7.已知函数及其导数定义域均为,在上单调递增,为奇函数,若,,,则()A. B.C. D.8.若对任意实数,不等式恒成立,则实数a的最小值为()A. B. C. D.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知,则函数的图象可能是()A. B.C. D.10.已知函数在上单调,且的图象关于点对称,则()A.的最小正周期为B.C.将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数D.函数在上有且仅有一个零点11.如图,在正方体中,点分别为棱上的动点(包含端点),则下列说法正确的是()A.当为棱的中点时,则在棱上存在点使得B.当分别为棱的中点时,则在正方体中存在棱与平面平行C.当分别为棱的中点时,过三点作正方体的截面,则截面为五边形D.三棱锥的体积为定值12.已知曲线在点处切线和曲线在点处的切线互相平行,则下列命题正确的有()A.有最大值1 B.有最小值是1C.有最小值是 D.若,则有最大值为第II卷(非选择题)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知是终边上的一点,则_____________.14.在中,,是的外心,则等于___________.15.已知两个等差数列2,6,10,…,210及2,8,14,…,212,将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的各项之和等于___________.16.正三棱锥的四个顶点都在同一个球面上,且底面边长是3,侧棱与底面所成的角为,二面角的平面角为.当该球的表面积最小时,____________.四、解答题:本题共6小题,第17小题10分,其余小题每题12分,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的公差为2,前项和为,且成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.18.在中,角所对的边分别是.已知.(1)求;(2)为边上一点,,且,求.19.如图,在四棱柱中,底面和侧面都是矩形,,.(1)求证:;公众号:全元高考(2)若点的在线段上,且二面角的大小为,求的值.20.甲,乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得分,负者得分,比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.(1)求值;(2)设表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量的分布列和数学期望.21.已知双曲线的左、右焦点分别为,渐近线方程为.(1)求的方程;(2)直线与的左、右两支分别交于两点(在轴的同侧),当时,求四边形面积的最小值.22.已知函数.(1)当时,证明;(2)当时,讨论的单调性;(3)设,证明.2023-2024学年上学期东北师大附中数学学科试卷高三年级第三次摸底考试第I卷(选择题)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.【9题答案】【答案】ABC【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ACD【12题答案】【答案】BD第II卷(非选择题)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】6【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】四、解答题:本题共6小题,第17小题10分,其余小题每题12分,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】(1)(2)【18题答案】【答案】(1)(2)【19题答案】【答案】(1)证明见解析(2)2【20题答案】【答案】(1).公众号:全元高考(2).【21题答案】【答案】(1)(2)【22题答案】【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析(3)证明见解析
吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第三次摸底考试数学试卷
2023-12-03
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