重庆市拔尖强基联盟2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题

西南大学附中重庆育才中学高2024届拔尖强基联盟高三十二月联合考试数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）命题学校：西南大学附中2023年12月注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，则（）A． B． C． D．2．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（）A．内含 B．相切 C．相交 D．外离3．在首项为1的数列中，满足，则（）A． B． C．0 D．14．若且，则（）A． B．6 C．36 D．125．已知点M为外接圆O上的任意一点，，则的最大值为（）A．1 B． C． D．6．在平面直角坐标系中，集合，集合，已知点，点，记表示线段长度的最小值，则的最大值为（）A．2 B． C．1 D．7．设，则（）A． B． C． D．8．点为正四面体的内切球球面上的两个动点，为棱上的一动点，则当取最大值时，（）A． B．1 C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，在正四棱柱中，，O为此正四棱柱的外接球球心，下列说法正确的是（）A． B．球的表面积为C．点到的距离为 D．四棱锥的表面积为10．已知圆，直线（且不同时为0），下列说法正确的是（）A．当直线经过时，直线与圆相交所得弦长为B．当时，直线与关于点对称，则的方程为：C．当时，圆上存在4个点到直线的距离为D．过点与平行的直线方程为：11．已知函数是偶函数，其中，若函数，则下列说法正确的是（）A．B．的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到C．的一个单调递增区间是D．若关于的方程在上有两个不同的实根，则的取值范围是12．定义在上的函数同时满足以下条件：① ②③ ④则下列说法正确的有（）A．若，则 B．方程在上无实数解C．若，则 D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列是等差数列，表示数列的前项和，若，则______；14．若，则______．15．设椭圆的两个焦点是，过点的直线与椭圆交于点，若，且，则椭圆的离心率是______．16．若，则的最大值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）等差数列满足，等比数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18．（12分）在中，内角所对的边分别为，满足（1）求证：；（2）若为锐角三角形，求的最大值．19．（12分）五棱锥中，，，，，，，，平面平面为的中点，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20．（12分）研究表明，学生的学习成绩y（分）与每天投入的课后学习时间x（分钟）有较强的线性相关性．某校数学小组为了研究如何高效利用自己的学习时间，收集了该校高三（1）班学生9个月内在某学科（满分100分）所投入的课后学习时间和月考成绩的相关数据，下图是该小组制作的原始数据与统计图（散点图）．月次123456789某科课后投入时间（分钟）202530354045505560高三（1）班某科平均分（分）6568757273737373．573（1）当时，该小组建立了与的线性回归模型，求其经验回归方程；（2）当时，由图中观察到，第3个月的数据点明显偏离回归直线，若剔除第3个月数据点后，用余下的4个散点做线性回归分析，得到新回归直线，证明：；（3）当时，该小组确定了与满足的线性回归方程为：，该数学小组建议该班在该学科投入课后学习时间为40分钟，请结合第（1）（2）问的结论说明该建议的合理性．附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，21．（12分）已知点为椭圆内的两点，在椭圆C上存在两点A，B满足，直线交椭圆C于点M（点M异于点A）．（1）当时，求点B的纵坐标；（2）求点B，M横坐标乘积的最大值．22．（12分）已知函数，其中．（1）若在单调递增，求a的取值范围；（2）若有三个极值点，记为，且，求的取值范围．高三十二月联合考试数学参考答案123456789101112AADCBDADACDABABDACD13．5214．15．17．解：（1）设公差为公比为则，解出．又由，解出．（2）由题意 ① ②①-②得：18．解：（1）由题由正弦定理：或（舍）（2）为锐角三角形由（1），原式令则原式当时，所求式子的最大值为．19．解：（1）取中，连接．又为的中点，，又平面平面，平面，又，四边形为平行四边形，，又，∴，又平面平面，平面平面平面平面，又平面平面．（2）取中点，连接由知，又平面平面，故平面以为坐标原点，为轴，过作轴，过点作轴建立如图所示空间直角坐标系，由题得：设平面的法向量为有，令又直线与平面所成角的正弦值为20．解：（1），所求经验回归方程为：（2）设的方程为，，∴的方程为，故，（3）由（1）（2）知，剔除异常值后①时，的斜率为0.4，时，回归直线的斜率为0.01而0.4远大于0.01（或0.01接近于0）②时，回归直线的最大值点为40故认为建议合理21．解：（1）设，由，即有，从而进一步，解得故时，（2）设①当斜率不存在时，重合，此时②当斜率存在时，设直线则∵仅在椭圆内，与椭圆一定相交当且仅当即时，等号成立故22．解：（1）由题，有在上恒成立即在上恒成立在上恒成立令由，解得；由，解得在上单调递减，在上单调递增（2）由题知，有3个根，显然1为其中一个根，则有两根．即有两根，亦即与有两个交点．由（1）作出大致图像如下：则有．故由令 ①又 ②由①②，解得故．