西南大学附中重庆育才中学高2024届拔尖强基联盟高三十二月联合考试数学试题(满分:150分;考试时间:120分钟)命题学校:西南大学附中2023年12月注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。2.答选择题时,必须使用2B铅笔填涂;答非选择题时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写;必须在题号对应的答题区域内作答,超出答题区域书写无效;保持答卷清洁、完整。3.考试结束后,将答题卡交回(试题卷学生保存,以备评讲)。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数,则()A. B. C. D.2.已知圆,圆,则这两圆的位置关系为()A.内含 B.相切 C.相交 D.外离3.在首项为1的数列中,满足,则()A. B. C.0 D.14.若且,则()A. B.6 C.36 D.125.已知点M为外接圆O上的任意一点,,则的最大值为()A.1 B. C. D.6.在平面直角坐标系中,集合,集合,已知点,点,记表示线段长度的最小值,则的最大值为()A.2 B. C.1 D.7.设,则()A. B. C. D.8.点为正四面体的内切球球面上的两个动点,为棱上的一动点,则当取最大值时,()A. B.1 C. D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.如图,在正四棱柱中,,O为此正四棱柱的外接球球心,下列说法正确的是()A. B.球的表面积为C.点到的距离为 D.四棱锥的表面积为10.已知圆,直线(且不同时为0),下列说法正确的是()A.当直线经过时,直线与圆相交所得弦长为B.当时,直线与关于点对称,则的方程为:C.当时,圆上存在4个点到直线的距离为D.过点与平行的直线方程为:11.已知函数是偶函数,其中,若函数,则下列说法正确的是()A.B.的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到C.的一个单调递增区间是D.若关于的方程在上有两个不同的实根,则的取值范围是12.定义在上的函数同时满足以下条件:① ②③ ④则下列说法正确的有()A.若,则 B.方程在上无实数解C.若,则 D.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知数列是等差数列,表示数列的前项和,若,则______;14.若,则______.15.设椭圆的两个焦点是,过点的直线与椭圆交于点,若,且,则椭圆的离心率是______.16.若,则的最大值为______.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)等差数列满足,等比数列满足,(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.18.(12分)在中,内角所对的边分别为,满足(1)求证:;(2)若为锐角三角形,求的最大值.19.(12分)五棱锥中,,,,,,,,平面平面为的中点,(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.20.(12分)研究表明,学生的学习成绩y(分)与每天投入的课后学习时间x(分钟)有较强的线性相关性.某校数学小组为了研究如何高效利用自己的学习时间,收集了该校高三(1)班学生9个月内在某学科(满分100分)所投入的课后学习时间和月考成绩的相关数据,下图是该小组制作的原始数据与统计图(散点图).月次123456789某科课后投入时间(分钟)202530354045505560高三(1)班某科平均分(分)6568757273737373.573(1)当时,该小组建立了与的线性回归模型,求其经验回归方程;(2)当时,由图中观察到,第3个月的数据点明显偏离回归直线,若剔除第3个月数据点后,用余下的4个散点做线性回归分析,得到新回归直线,证明:;(3)当时,该小组确定了与满足的线性回归方程为:,该数学小组建议该班在该学科投入课后学习时间为40分钟,请结合第(1)(2)问的结论说明该建议的合理性.附:经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,21.(12分)已知点为椭圆内的两点,在椭圆C上存在两点A,B满足,直线交椭圆C于点M(点M异于点A).(1)当时,求点B的纵坐标;(2)求点B,M横坐标乘积的最大值.22.(12分)已知函数,其中.(1)若在单调递增,求a的取值范围;(2)若有三个极值点,记为,且,求的取值范围.高三十二月联合考试数学参考答案123456789101112AADCBDADACDABABDACD13.5214.15.17.解:(1)设公差为公比为则,解出.又由,解出.(2)由题意 ① ②①-②得:18.解:(1)由题由正弦定理:或(舍)(2)为锐角三角形由(1),原式令则原式当时,所求式子的最大值为.19.解:(1)取中,连接.又为的中点,,又平面平面,平面,又,四边形为平行四边形,,又,∴,又平面平面,平面平面平面平面,又平面平面.(2)取中点,连接由知,又平面平面,故平面以为坐标原点,为轴,过作轴,过点作轴建立如图所示空间直角坐标系,由题得:设平面的法向量为有,令又直线与平面所成角的正弦值为20.解:(1),所求经验回归方程为:(2)设的方程为,,∴的方程为,故,(3)由(1)(2)知,剔除异常值后①时,的斜率为0.4,时,回归直线的斜率为0.01而0.4远大于0.01(或0.01接近于0)②时,回归直线的最大值点为40故认为建议合理21.解:(1)设,由,即有,从而进一步,解得故时,(2)设①当斜率不存在时,重合,此时②当斜率存在时,设直线则∵仅在椭圆内,与椭圆一定相交当且仅当即时,等号成立故22.解:(1)由题,有在上恒成立即在上恒成立在上恒成立令由,解得;由,解得在上单调递减,在上单调递增(2)由题知,有3个根,显然1为其中一个根,则有两根.即有两根,亦即与有两个交点.由(1)作出大致图像如下:则有.故由令 ①又 ②由①②,解得故.
重庆市拔尖强基联盟2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题
2023-12-13
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