构造“对偶式”，巧解数学问题-解析版

构造“对偶式”，巧解数学问题在解答某些数学问题时，针对已知式M的结构特征，构造一个或几个与之相关联的式子N，使M与N经过相加、相减、相乘、相除等运算之后，所需解答的问题得到合理的转化和解决。这种解题方法称之为构造“对偶式”解题，是一种极其巧妙的解题方法。通过构造对偶式可以巧妙地解决多项式求值、恒等式证明、求函数的最值、解方程(组以及求解析式等，当然难点在于如何构造解题所需要的“对偶式”。典型例题1求证:2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x≤5。【分析】本例是三角不等式的证明，运用一般的方法证明是困难的，若能运用对称的方法，构造对偶式，则比较容易证明【解析】【证明】设A=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x，B=2cos4x+3cos2xsin2x+5sin4x，442222222 则 A+B=7sinx+cosx+6sinxcosx=7sinx+cosx-8sinxcosx=7-2sin22x=5+2cos22x，①44A-B=3cosx-sinx=3cos2x，②2329①+②，得 2A=5+2cos2x+3cos2x=5+2cos2x+-416329≤5+21+-=10所以A≤5，命题得证4162222已知α，β是方程x-7x+8=0的两根，且α>β，不解方程，求+3β的值。α2222【分析】若要不解方程求+3β的值,因为+3β是非对称式,无法化为αβ及α+β的形式,所αα2222以需要构造+3β相应的对偶式+3α，两者结合就可以化为αβ及α+β的形式，然后运用韦达定理,αβ22从而求出+3β的值.α【解析】2222设A=+3β，构造对偶式B=+3α。αβ∵α，β是方程x2-7x+8=0的两根，∴α+β=7，αβ=8。∵α>β，∴α-β=(α+β)2-4αβ=17。11222α+β2403∴A+B=2++3α+β=+3(α+β)-2αβ=，①αβαβ411222β-α8517A-B=2-+3β-α=+3β+αβ-α=-，②αβαβ4·1· ①+② 403-8517 得 A=。 2822403-8517∴+3β=。α83求下列各式的值：(1)sin210°+cos240°+sin10°cos40°；(2)sin6°sin42°sin66°sin78°。【分析】本例两小题都可以通过三角恒等变形求值，但解题过程不简捷。 如果利用正余弦三角函数的互余对偶,构造对偶式求解,则解题过程非常简捷,此时原问题转化为代数方程组,利用加减消元法获得结果,或两对偶式相乘结合诱导公式直接消去引进的对偶式即得结果.【解析】(1)设A=sin210°+cos240°+sin10°cos40°， 另设 B=cos210°+sin240°+cos10°sin40°，  则 A+B=1+1+sin10°cos40°+cos10°sin40°=2+sin50°=2+cos40°11A-B=cos80°-cos20°-sin40°-10°=-sin50°-=--cos40°2233两式相加，得2A=，即A=。24223因此，得sin10°+cos40°+sin10°cos40°=。4(2)设A=sin6°sin42°sin66°sin78°，另设B=cos6°cos42°cos66°cos78°。11 则 AB=sin12°sin84°sin132°sin156°=sin12°sin84°sin48°sin24°161611=cos78°cos6°cos42°cos66°=B。161611∴A=，即sin6°sin42°sin66°sin78°=。161614(1)若函数fx满足afx+bf=cx(其中a，b，c是不等于零的常数，且a≠b，求函数fxx的解析式；11(2)已知函数fx满足2fx-f+=0，求fx的值域；xx*01n(3)已知an-1=nd，n∈N， 设 Sn+1=a0Cn+a1Cn+⋯+anCn，求Sn+1。1【分析】第12以问，代替x，构造出与之对应的对偶式，联立方程组解出fx.第2问还需用判别x式法或基本不等式法进一步求fx的值域.第(3)问,构造对偶式(即写出原等式的逆序形式),再利用kn-k组合数性质Cn=Cn,两式相加即可求得Sn+1.这也就是推导等差数列前n项和Sn的公式的方法逆序相加法.【解析】11c(1)用代替x，得原式的对偶式af+bfx=。xxx·2·1afx+bf=cxx122b 联立 消去f， 得a-bfx=cax-， 又 1cxxaf+bfx=xx∵a≠b2cax-b。∴fx=22a-bx11(2) 2fx-f=-xx11 用  代替 x 得(1)式的对偶式2f-fx=-x ，(2) xx22 (1)×2+(2)得3fx=--x=-x+。xx12 ∴fx=-x+③3x求③的值域可用判别式法122由 y=-x+⇒x+3yx+2=0，3x28∵x∈R 且 x≠0，∴Δ≥0⇒y≥92222 ∴y≥ 或 y≤-， 332222即 fx 的值域为 -∞，-∪，+∞33也可用基本不等式2122222当 x>0时，∵x+≥22，∴-x+≤-，即y≤-x3x3322当x<0时，-x>0，-x+-≥22，则x+≤-22xx122222-x+≥， 即 y≥3x332222∴fx 的值域为 -∞，-∪，+∞3301n(3)由 Sn+1=a0Cn+a1Cn+⋯+anCn，nn-10构造对偶式 Sn+1=anCn+an-1Cn+⋯+a0Cn，即原式逆序形式0n1n-1n0则 2Sn+1=a0Cn+anCn+a1Cn+an-1Cn+⋯+anCn+a0Cn01nkn-k=a0+anCn+a1+an-1Cn+⋯+an+a0Cn运用组合数性质 Cn=Cn01n=a0+anCn+Cn+⋯+Cn(运用等差数列性质，在等差数列an中，若若 m，n，p，q∈N， 且 m+n=p+q， 则 am+an=ap+aqn=a0+an⋅2(运用二项展开式二项式系数之和的公式)nn+2⋅2d(运用等差数列通项公式)n-1∴Sn+1=n+2⋅2d·3·