高考数学专题27 数列问题（解析版）

专题27数列问题例1．随着商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕用户的争夺越来越激烈，手机也频频降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广.（1）公司内部测试的活动方案设置了第次抽奖中奖的名额为，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个.若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束.参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中.①请分别求出甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率；②请求出甲参加抽奖活动次数的分布列和期望.（2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广.报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第次抽奖中奖的概率为，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行次，已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于.【解析】（1）①甲在第一次中奖的概率为乙在第二次中奖的概率为②设甲参加抽奖活动的次数为X，则，；；，X123P.（2）证明：丙在第奇数次中奖的概率为，在第偶数次中奖的概率为.设丙参加抽奖活动的次数为Y，“丙中奖”为事件A，则，令，，则丙在第次中奖的概率在第次中奖的概率，即，在丙中奖的条件下，在第，次中奖的概率为，则丙参加活动次数的均值为设，则，，，所以.例2．某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供、两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为、购买的概率为，而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率为，前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率也是，如此往复.记某人第次来购买产品的概率为.（1）求，并证明数列是等比数列；（2）记第二次来公司购买产品的3个人中有个人购买产品，求的分布列并求；（3）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，那么公司每天应至少准备、产品各多少份.（直接写结论、不必说明理由）.【解析】（1）依题意，知，则当时，可得，∴数列是首项为公比为的等比数列.（2）第二次买A产品的概率；第二次买B产品的概率∴第二次来的3人中有个人购买产品，的所有可能取值为0、1、2、3有，∴的分布列为0123故.（3）由(1)知：∴当趋于无穷大时，，即第次来购买产品的概率约为.故公司每天应至少准备产品320份、产品480份.例3．从原点出发的某质点，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设可到达点的概率为(1)求和的值；(2)求证：；(3)求的表达式.【解析】(1)(2)证明：到达点有两种情况：①从点按向量移动，即②从点按向量移动，即(3)数列是以为首项，为公比的等比数列.又例4．某人玩硬币走跳棋的游戏。已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、、第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站(从到)；若掷出反面，棋子向前跳两站(从到)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束.设棋子跳到第站的概率为.(1)求的值；(2)求证：，其中；(3)求玩该游戏获胜的概率及失败的概率.【解析】(1)解：棋子开始在第0站为必然事件，.第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，.棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：①前两次掷硬币都出现正面，其概率为；②第一次掷硬币出现反面，其概率为..(2)证明：棋子跳到第站的情况是下列两种，而且也只有两种：①棋子先到第站，又掷出反面，其概率为；②棋子先到第站，又掷出正面，其概率为..(3)解：由(2)知当时，数列是首项为，公比为的等比数列..以上各式相加，得，获胜的概率为，失败的概率例5．有人玩掷硬币走跳棋的游戏。已知硬币岀现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、、第100站。一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从到）；若掷出反面，祺子向前跳二站（从到），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束。设棋子跳到第站的概率为.（1）求的值（2）写出的递推关系，其中，且；（3）求玩该游戏获胜的概率.【解析】（1）棋子开始在第0站为必然事件，所以.第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，所以.棋子跳到第2站有下列两种情况：情形一前二次掷硬币均出现正面，其概率为;情形二第一次掷硬币出现反面，其概率为.所以；（2）棋子跳到第站有下列两种情况：情形一棋子先跳到第站，又掷出反面，其概率为；情形二棋子先跳到第站，又掷出正面，其概率为.所以，从而；（3）由（1）与（2）知，，则，即，所以数列是首相为，公比为的等比数列，所以.于是，于是.所以玩游戏获胜的概率为.例6．4人互相传球，由开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到手中，则不同的传球方式有多少种？若有个人相互传球次后又回到发球人手中的不同传球方式有多少种？【解析】4人传球时，传球次共有种传法。设第次将球传给的方法数共有种传法，则不传给的有种，故，且不传给的下次均可传给，即两边同除以得，令，则，则当时，.当人数为时，分别用，n取代3,4时，可得.例7．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得分，反面向上得分.(1)设抛掷次的得分为，求的分布列和数学期望；(2)求恰好得到分的概率.【解析】(1)的可能取值为.设抛掷5次得分的概率为其分布列如下表：5678910；(2)设表示恰好得到分的概率.不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次反面.因为不出现分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因为“掷一次出现反面”的概率是.所以，即，.所以是以为首项，以为公比的等比数列.所以，即.答：恰好得到分的概率为.例8．质点在轴上从原点出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到点的概率为。（Ⅰ）求和；（Ⅱ）用表示，并证明是等比数列；（Ⅲ）求．【解析】（Ⅰ）P1=，（Ⅱ）由题意可知，质点到达点（n,0），可分两种情形，由点（n-1,0）右移1个单位或由点（n-2,0）右移2个单位，故由条件可知：（n≥3）上式可变形为是以为公比的等比数列。其首项P2－P1=（Ⅲ）由（Ⅱ）知Pn－Pn－1=（n≥2）∴例9．某人抛掷一颗质地均匀的骰子，构造数列{an}，使，记Sn＝a1＋a2＋＋an(n∈Z)．(1)求S6＝2的概率；(2)求S2≠0且S6＝2的概率．【解析】(1)S6＝2，需6次中出现4次偶数点2次奇数点，设其概率为P1，则P1＝.(2)S2≠0，即前两次同时出现偶数点或同时出现奇数点．①当前两次同时出现偶数点时，S2＝2.要使S6＝2，需后四次中出现两次偶数点，两次奇数点，设其概率为P2，则P2＝××()2×()2＝.②当前两次同时出现奇数点时，S2＝－2.要使S6＝2，需后四次全出现偶数点，设其概率为P3，则P3＝××()4＝.所以S2≠0且S6＝2的概率P＝P2＋P3＝.例10．某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是相等的，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站。一枚棋子开始在第0站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为1或2，棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束。设棋子跳到第n站的概率为.（1）求；(2)求证：为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率.【解析】（1）显然，跳动一站有点数为1或2两种情况，共有6钟情况，故，跳动两站分两种情况：跳两次概率为，跳一次概率为，故；(2)由题意知：是首项为公比为的等比数列；（3）由（2）知，于是，将这98个式子累加得：，于是，所以玩该游戏获胜的概率为.例11．春节来临，有农民工兄弟、、、四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若、、、获得火车票的概率分别是，其中，又成等比数列，且、两人恰好有一人获得火车票的概率是.（1）求的值；（2）若、是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家.设表示、、、能够回家过年的人数，求的分布列和期望.【解析】（1）、两人恰好有一人获得火车票的概率是联立方程，，解得（2）的分布列为01234.例12．武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为，游客之间选择意愿相互独立.（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列与数学期望；（2）（i）若从游客中随机抽取人，记总分恰为分的概率为，求数列的前10项和；（ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率为，探讨与之间的关系，并求数列的通项公式.【解析】解：（1）可能取值为3，4，5，6.，，，.∴的分布列为3456∴（2）（i）总分恰为分的概率为，∴数列是首项为，公比为的等比数列，前10项和.（ⅱ）已调查过的累计得分恰为分的概率为，得不到分的情况只有先得分，再得2分，概率为，.所以，即∴.∴，∴.