高考数学专题27 数列问题(解析版)

2023-11-18 · 14页 · 611.9 K

专题27数列问题例1.随着商用进程的不断加快,手机厂商之间围绕用户的争夺越来越激烈,手机也频频降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场,计划先在公司进行“抽奖免费送手机”优惠活动方案的内部测试,测试成功后将在全市进行推广.(1)公司内部测试的活动方案设置了第次抽奖中奖的名额为,抽中的用户退出活动,同时补充新的用户,补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个.若某次抽奖,剩余全部用户均中奖,则活动结束.参加本次内部测试第一次抽奖的有15人,甲、乙均在其中.①请分别求出甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率;②请求出甲参加抽奖活动次数的分布列和期望.(2)由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利,现将在全市进行推广.报名参加第一次抽奖活动的有20万用户,该公司设置了第次抽奖中奖的概率为,每次中奖的用户退出活动,同时补充相同人数的新用户,抽奖活动共进行次,已知用户丙参加了第一次抽奖,并在这次抽奖活动中中奖了,在此条件下,求证:用户丙参加抽奖活动次数的均值小于.【解析】(1)①甲在第一次中奖的概率为乙在第二次中奖的概率为②设甲参加抽奖活动的次数为X,则,;;,X123P.(2)证明:丙在第奇数次中奖的概率为,在第偶数次中奖的概率为.设丙参加抽奖活动的次数为Y,“丙中奖”为事件A,则,令,,则丙在第次中奖的概率在第次中奖的概率,即,在丙中奖的条件下,在第,次中奖的概率为,则丙参加活动次数的均值为设,则,,,所以.例2.某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供、两种民生消费产品(人们购买时每次只买其中一种)服务,他们经过统计分析发现:第一次购买产品的人购买的概率为、购买的概率为,而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率为,前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率也是,如此往复.记某人第次来购买产品的概率为.(1)求,并证明数列是等比数列;(2)记第二次来公司购买产品的3个人中有个人购买产品,求的分布列并求;(3)经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人,假定这800人都已购买过很多次该两款产品,那么公司每天应至少准备、产品各多少份.(直接写结论、不必说明理由).【解析】(1)依题意,知,则当时,可得,∴数列是首项为公比为的等比数列.(2)第二次买A产品的概率;第二次买B产品的概率∴第二次来的3人中有个人购买产品,的所有可能取值为0、1、2、3有,∴的分布列为0123故.(3)由(1)知:∴当趋于无穷大时,,即第次来购买产品的概率约为.故公司每天应至少准备产品320份、产品480份.例3.从原点出发的某质点,按向量移动的概率为,按向量移动的概率为,设可到达点的概率为(1)求和的值;(2)求证:;(3)求的表达式.【解析】(1)(2)证明:到达点有两种情况:①从点按向量移动,即②从点按向量移动,即(3)数列是以为首项,为公比的等比数列.又例4.某人玩硬币走跳棋的游戏。已知硬币出现正反面的概率都是,棋盘上标有第0站、第1站、第2站、、第100站.一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷出正面,棋子向前跳一站(从到);若掷出反面,棋子向前跳两站(从到),直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时,该游戏结束.设棋子跳到第站的概率为.(1)求的值;(2)求证:,其中;(3)求玩该游戏获胜的概率及失败的概率.【解析】(1)解:棋子开始在第0站为必然事件,.第一次掷硬币出现正面,棋子跳到第1站,其概率为,.棋子跳到第2站应从如下两方面考虑:①前两次掷硬币都出现正面,其概率为;②第一次掷硬币出现反面,其概率为..(2)证明:棋子跳到第站的情况是下列两种,而且也只有两种:①棋子先到第站,又掷出反面,其概率为;②棋子先到第站,又掷出正面,其概率为..(3)解:由(2)知当时,数列是首项为,公比为的等比数列..以上各式相加,得,获胜的概率为,失败的概率例5.有人玩掷硬币走跳棋的游戏。已知硬币岀现正反面的概率都是,棋盘上标有第0站、第1站、第2站、、第100站。一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次,若掷出正面,棋子向前跳一站(从到);若掷出反面,祺子向前跳二站(从到),直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时,该游戏结束。设棋子跳到第站的概率为.(1)求的值(2)写出的递推关系,其中,且;(3)求玩该游戏获胜的概率.【解析】(1)棋子开始在第0站为必然事件,所以.第一次掷硬币出现正面,棋子跳到第1站,其概率为,所以.棋子跳到第2站有下列两种情况:情形一前二次掷硬币均出现正面,其概率为;情形二第一次掷硬币出现反面,其概率为.所以;(2)棋子跳到第站有下列两种情况:情形一棋子先跳到第站,又掷出反面,其概率为;情形二棋子先跳到第站,又掷出正面,其概率为.所以,从而;(3)由(1)与(2)知,,则,即,所以数列是首相为,公比为的等比数列,所以.于是,于是.所以玩游戏获胜的概率为.例6.4人互相传球,由开始发球,并作为第一次传球,经过5次传球后,球仍回到手中,则不同的传球方式有多少种?若有个人相互传球次后又回到发球人手中的不同传球方式有多少种?【解析】4人传球时,传球次共有种传法。设第次将球传给的方法数共有种传法,则不传给的有种,故,且不传给的下次均可传给,即两边同除以得,令,则,则当时,.当人数为时,分别用,n取代3,4时,可得.例7.一种抛硬币游戏的规则是:抛掷一枚硬币,每次正面向上得分,反面向上得分.(1)设抛掷次的得分为,求的分布列和数学期望;(2)求恰好得到分的概率.【解析】(1)的可能取值为.设抛掷5次得分的概率为其分布列如下表:5678910;(2)设表示恰好得到分的概率.不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次反面.因为不出现分”的概率是,“恰好得到分”的概率是,因为“掷一次出现反面”的概率是.所以,即,.所以是以为首项,以为公比的等比数列.所以,即.答:恰好得到分的概率为.例8.质点在轴上从原点出发向右运动,每次平移一个单位或两个单位,且移动一个单位的概率为,移动2个单位的概率为,设质点运动到点的概率为。(Ⅰ)求和;(Ⅱ)用表示,并证明是等比数列;(Ⅲ)求.【解析】(Ⅰ)P1=,(Ⅱ)由题意可知,质点到达点(n,0),可分两种情形,由点(n-1,0)右移1个单位或由点(n-2,0)右移2个单位,故由条件可知:(n≥3)上式可变形为是以为公比的等比数列。其首项P2-P1=(Ⅲ)由(Ⅱ)知Pn-Pn-1=(n≥2)∴例9.某人抛掷一颗质地均匀的骰子,构造数列{an},使,记Sn=a1+a2++an(n∈Z).(1)求S6=2的概率;(2)求S2≠0且S6=2的概率.【解析】(1)S6=2,需6次中出现4次偶数点2次奇数点,设其概率为P1,则P1=.(2)S2≠0,即前两次同时出现偶数点或同时出现奇数点.①当前两次同时出现偶数点时,S2=2.要使S6=2,需后四次中出现两次偶数点,两次奇数点,设其概率为P2,则P2=××()2×()2=.②当前两次同时出现奇数点时,S2=-2.要使S6=2,需后四次全出现偶数点,设其概率为P3,则P3=××()4=.所以S2≠0且S6=2的概率P=P2+P3=.例10.某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏,已知骰子每面朝上的概率都是相等的,棋盘上标有第0站,第1站,第2站,……,第100站。一枚棋子开始在第0站,选手每掷一次骰子,棋子向前跳动一次,若掷出朝上的点数为1或2,棋子向前跳一站;若掷出其余点数,则棋子向前跳两站,直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败大本营)时,该游戏结束。设棋子跳到第n站的概率为.(1)求;(2)求证:为等比数列;(3)求玩该游戏获胜的概率.【解析】(1)显然,跳动一站有点数为1或2两种情况,共有6钟情况,故,跳动两站分两种情况:跳两次概率为,跳一次概率为,故;(2)由题意知:是首项为公比为的等比数列;(3)由(2)知,于是,将这98个式子累加得:,于是,所以玩该游戏获胜的概率为.例11.春节来临,有农民工兄弟、、、四人各自通过互联网订购回家过年的火车票,若订票成功即可获得火车票,即他们获得火车票与否互不影响.若、、、获得火车票的概率分别是,其中,又成等比数列,且、两人恰好有一人获得火车票的概率是.(1)求的值;(2)若、是一家人且两人都获得火车票才一起回家,否则两人都不回家.设表示、、、能够回家过年的人数,求的分布列和期望.【解析】(1)、两人恰好有一人获得火车票的概率是联立方程,,解得(2)的分布列为01234.例12.武汉又称江城,是湖北省省会城市,被誉为中部地区中心城市,它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化,更有着众多名胜古迹与旅游景点,每年来武汉参观旅游的人数不胜数,其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源,现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查,若不游玩东湖记1分,若继续游玩东湖记2分,每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为,游客之间选择意愿相互独立.(1)从游客中随机抽取3人,记总得分为随机变量,求的分布列与数学期望;(2)(i)若从游客中随机抽取人,记总分恰为分的概率为,求数列的前10项和;(ⅱ)在对所有游客进行随机问卷调查过程中,记已调查过的累计得分恰为分的概率为,探讨与之间的关系,并求数列的通项公式.【解析】解:(1)可能取值为3,4,5,6.,,,.∴的分布列为3456∴(2)(i)总分恰为分的概率为,∴数列是首项为,公比为的等比数列,前10项和.(ⅱ)已调查过的累计得分恰为分的概率为,得不到分的情况只有先得分,再得2分,概率为,.所以,即∴.∴,∴.

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