高考数学专题31 自主招生问题（解析版）

专题31自主招生问题例1．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响．（Ⅰ）求甲通过自主招生初试的概率；（Ⅱ）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（Ⅲ）记甲答对试题的个数为，求的分布列及数学期望．【解析】（Ⅰ）依题意，所求概率．（Ⅱ）乙通过自主招生初试的概率；因为，故甲通过自主招生初试的可能性更大．（Ⅲ）依题意，的可能取值为2,3,4；；；；故的分布列为：234所以．例2．甲、乙两位同学从共所高校中，任选两所参加自主招生考试（并且只能选两所高校），但同学特别喜欢高校，他除选高校外，再在余下的所中随机选1所；同学乙对所高校没有偏爱，在所高校中随机选2所．若甲同学未选中高校且乙选中高校的概率为．（1）求自主招生的高校数；（2）记为甲、乙两名同学中未参加高校自主招生考试的人数，求的分布列和数学期望．【解析】（1）由已知得，甲同学选中高校的概率为，乙同学选中高校的概率为，∴甲同学未选中高校且乙同学选中高校的概率为，整理得，，∵，解得，故自主招生的高校数为5所．（2）的所有可能取值为0,1,2，，，则的分布列为：X012P∴的数学期望．例3．有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表省数学竞赛一等奖自主招生通过高考达重点线高考达该校分数线0.50.60.90.7若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）（Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；（Ⅱ）求该学生参加考试的次数的分布列及数学期望；（Ⅲ）求该学生被该校录取的概率.【解析】解：（Ⅰ）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为，，则，，.即该学生参加自主招生考试的概率为0.9.（Ⅱ）该该学生参加考试的次数的可能取值为2，3，4；；.所以的分布列为2340.10.50.4.（Ⅲ）设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为，.，，，所以该学生被该校录取的概率为.例4．大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：分数人数25501005025参加自主招生获得通过的概率0.90.80.60.40.3（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150（Ⅱ）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.（ⅰ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ⅱ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.参考数据：0.150.100．050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879参考公式：，其中【解析】（Ⅰ）列联表如下：优等生非优等生总计学习大学先修课程50200250没有学习大学先修课程1009001000总计15011001250由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（Ⅱ）（ⅰ）由题意得所求概率为.（ⅱ）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，∴的分布列为01234估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为.例5．为了了解我校高2017级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培训的情况，对全年级2000名高三学生进行了问卷调查，统计结果如下表：校区愿意参加不愿意参加重庆一中本部校区220980重庆一中大学城校区80720（1）若从愿意参加自主招生培训的同学中按分层抽样的方法抽取15人，则大学城校区应抽取几人；（2）现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试，考试题共有5道题，每题20分，对于这5道题，考生“如花姐”完全会答的有3题，不完全会的有2道，不完全会的每道题她得分的概率满足：，假设解答各题之间没有影响，①对于一道不完全会的题，求“如花姐”得分的均值；②试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的数学期望．【解析】（1）大学城校区应抽取人；（2）①由题知：对一道不完全会的题，“如花姐”得分的分布列为，即；61218所以对于每一道不完全会的题，“如花姐”得分的期望为分；②记为“如花姐”做两道不完全会的题的得分总和，则；；．所以“如花姐”最后得分的期望值为分．例6．符合下列三个条件之一，某名牌大学就可录取：①获国家高中数学联赛一等奖（保送录取，联赛一等奖从省高中数学竞赛优胜者中考试选拔）；②自主招生考试通过并且高考分数达到一本分数线（只有省高中数学竞赛优胜者才具备自主招生考试资格）；③高考分数达到该大学录取分数线（该大学录取分数线高于一本分数线）．某高中一名高二数学尖子生准备报考该大学，他计划：若获国家高中数学联赛一等奖，则保送录取；若未被保送录取，则再按条件②、条件③的顺序依次参加考试．已知这名同学获省高中数学竞赛优胜奖的概率是0.9，通过联赛一等奖选拔考试的概率是0.5，通过自主招生考试的概率是0.8，高考分数达到一本分数线的概率是0.6，高考分数达到该大学录取分数线的概率是0.3．（I）求这名同学参加考试次数的分布列及数学期望；（II）求这名同学被该大学录取的概率．【解析】解：（I）记“获省高中数学竞赛优胜奖”为事件A，则；记“获国家高中数学联赛一等奖”为事件B，则；记“通过自主招生考试”为事件C，则；记“高考分数达到一本分数线”为事件D，则；记“高考分数达到该大学录取分数线”为事件E.，则随机变量的可能取值有2、4随机变量的分布列为：240.550.45（II）记“这名同学被该大学录取”为事件则所以这名同学被该大学录取的概率为0.695例7．已知A,B,C,D,E五所高校举行自主招生考试，某同学决定按A,B,C,D,E的顺序参加考试，假设该同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为13.（1）如果该同学五所高校的考试都参加，求在恰有两所通过的条件下，不是连续两所通过的概率；（2）如果该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加后面高校的考试，假设参加每所高校考试所需的费用均为162元，试求该同学参加考试所需费用X的数学期望.【解析】（1）该同学恰好通过两所高校自主招生考试的概率为P=C52(13)2(1-13)3=80243，恰好通过两所但不是连续两所的概率为(C52-4)(13)2(1-13)3=1681.所以所求条件概率为C52-4C52=35.（2）该同学参加考试所需费用X的分布列如下：(a=162)所以（元）.例8．已知，，，…，等10所高校举行自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为.（1）如果该同学10所高校的考试都参加，恰有所通过的概率为，当为何值时，取得最大值；（2）若，该同学参加每所高校考试所需的费用均为元，该同学决定按，，，…，顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，否则，继续参加其它高校的考试，求该同学参加考试所需费用的分布列及数学期望.【解析】（1）因为该冋学通过各校考试的概率均为，所以该同学恰好通过所高校自主招生考试的概率为当时，，递增；当时，，递减；所以当时，取得最大值.（2）设该同学共参加了次考试的概率为.∵，∴所以该同学参加考试所需费用的分布列如下：所以，令，①则，②由①-②得，所以，所以（元）.例9．某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从四所高校中选2所.（Ⅰ）求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率；（Ⅱ）若已知甲同学特别喜欢高校，他必选校，另在三校中再随机选1所；而同学乙和丙对四所高校没有偏爱，因此他们每人在四所高校中随机选2所.（ⅰ）求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率；（ⅱ）记为甲、乙、丙三名同学中选校的人数，求随机变量的分布列及数学期望.【解析】（Ⅰ）甲从四所高校中选2所，共有AB,AC,AD,BC,BD,CD六种方法，甲同学都选高校，共有AD,BD,CD三种方法，甲同学选高校的概率为，因此乙、丙同学选高校的概率皆为，因为每位同学彼此独立，所以甲、乙、丙三名同学都选高校的概率为（Ⅱ）（ⅰ）甲同学必选校且选高校的概率为，乙未选高校的概率为，丙未选高校的概率为，因为每位同学彼此独立，所以甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率，（ⅱ）因此，，，，即分布列为0123P因此数学期望为例10．某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从五所高校中任选2所．（1）求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率；（2）若已知甲同学特别喜欢高校，他必选校，另在四校中再随机选1所；而同学乙和丙对五所高校没有偏爱，因此他们每人在五所高校中随机选2所．（i）求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率；（ii）记为甲、乙、丙三名同学中选高校的人数，求随机变量的分布列及数学期望．【解析】（1）甲从五所高校中任选2所，共有共10种情况，甲、乙、丙同学都选高校，共有四种情况，甲同学选高校的概率为，因此乙、丙两同学选高校的概率为,因为每位同学彼此独立，所以甲、乙、丙三名同学都选高校的概率为．（2）（i）甲同学必选校且选高校的概率为，乙未选高校的概率为，丙未选高校的概率为，因为每位同学彼此独立，所以甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率为．（ii），因此，．即的分布列为0123因此数学期望为．例11．现有甲、乙、丙三名学生参加某大学的自主招生考试，考试分两轮，第一轮笔试，第二轮面试，只有第一轮笔试通过才有资格进入第二轮面试，面试通过就可以在高考录取中获得该校的优惠加分，两轮考试相互独立.根据以往多次的模拟测试，甲、乙、丙三名学生能通过笔试的概率分别为0.4，0.8，0.5，能通过面试的概率分别为0.8，0.4，0.64.根据这些数据我们可以预测：（1）甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生通过第一轮笔试的概率；（2）甲、乙、丙三名学生能获得该校优惠加分的人数的数学期望.【解析】（1）记事件：甲通过第一轮笔试，事件：乙通过第一轮笔试，事件：丙通过第一轮笔试，事件：至少有两名学生通过第一轮笔试，则，，.，，，所以至少有两名学生通过第一轮笔试的概率为。（2）因为甲、乙、丙三名学生中每个