高考数学专题20 圆锥曲线中的轨迹问题-高考数学圆锥曲线重难点专题突破（全国通用）（解析版）

专题20圆锥曲线中的轨迹问题一、单选题1．已知点的坐标为，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹为（）A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线【解析】由题意，圆，可得圆心坐标为，半径为，因为线段的垂直平分线交于，可得，所以，根据椭圆的定义，可得点的轨迹为以、为焦点的椭圆.故选：B.2．动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（）A．2 B．6 C． D．10【解析】根据题意，设，则，即：，为的左焦点，设的右焦点为，则，从而，当共线，且在线段上时取等号，故的最小值为6.故选：B．3．已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（）A． B．C． D．【解析】由题可得圆心，半径为6，是垂直平分线上的点，，，点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，，故点的轨迹方程为.故选：B.4．已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且，则动点的轨迹的方程为（）A． B．C． D．【解析】设点，则，则，，，．∵，∴，即，整理得，∴动点的轨迹的方程为.故选：A．5．在平面直角坐标系中，有定点，，动点满足，记动点的轨迹为，过且斜率为的直线与交于，两点，若，则面积的值为（）A． B． C． D．【解析】设点，则，，，故根据得：，整理得：故过且斜率为的直线方程为：，设，曲线与直线联立方程：得：，，故，，所以，即：，所以，即：，解得：，所以，故过且斜率为的直线方程为：，所以点到直线的距离为：，所以面积为.故选：B.6．点、为椭圆长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，动点满足，记动点的轨迹为曲线，若曲线上两点、满足面积的最大值为8，面积的最小值为1，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【解析】由题可设,则因为,故.化简得：.故当时面积最大,面积的最小.故.故椭圆的离心率.故选：C7．已知定点，动点Q在圆O：上，PQ的垂直平分线交直线OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】当在圆内时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点,则,线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段于点，如图1.连接,则,所以，则，此时的轨迹是以为焦点的椭圆.当在圆上时，线段的中垂线交线段于圆心.当在圆外时，设与圆的另一交点为，设点为弦的中点,则,线段的中点在线段内，则线段的中垂线交线段的延长线于点，如图2.连接,则,所以，则，此时的轨迹是以为焦点的双曲线的一支.同理当在圆上运动时，还会得到，所以动点的轨迹是双曲线，则在圆外,所以，故选：D8．已知点，动点满足：，直线与点的轨迹交于，两点，则直线，的斜率之积（）A． B． C． D．不确定【解析】，故，化简整理得到，故轨迹方程为椭圆，，，故椭圆方程为：.设，，则，化简得到，故，.故选：.二、多选题9．（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（）A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线【解析】由题意知，定点，，可得，因为，可得，当且仅当，即时等号成立．当时，可得的，此时点的轨迹是线段；当时，可得，此时点的轨迹是椭圆．故选：BC．10．已知的两个顶点A，B的坐标分别是，，且AC，BC所在直线的斜率之积等于，则正确的是（）A．当时，点C的轨迹是双曲线B．当时，点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去两个顶点）C．当时，点C在圆上运动D．当时，点C所在的椭圆的离心率随着m的增大而增大【解析】设，所以，若，则B正确，A错误；若，轨迹方程为：，C正确；若，轨迹方程为：，表示焦点在y轴上的椭圆（不含左右顶点），，随着m的增大而减小，D错误.故选：BC.11．已知定点，定直线l：，动点P点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E．则下列说法正确的是（）A．轨迹E的方程为B．轨迹E上的点P到定点F距离的最小值为2C．轨迹E上的点P到定直线l：距离的最小值为1D．轨迹E上的点到直线l：距离的最小值为【解析】设，则，化简得，所以轨迹E的方程是，A正确．轨迹E上的点到定点F的距离为，因为或，所以距离的最小值为1；轨迹E上的点Р到定直线l：距离的最小值为，B，C不正确．设直线m：与双曲线E相切，联立，得，由，解得，易知切线m：到直线l：的距离最小，当时，解方程得，当时，，所以切点即为所求，此时最小值，D正确．故选：AD．12．已知点是圆：上一动点，点，若线段的垂直平分线交直线于点，则下列结论正确的是（）A．点的轨迹是椭圆B．点的轨迹是双曲线C．当点满足时，的面积D．当点满足时，的面积【解析】依题意，，，因线段的垂直平分线交直线于点，于是得，当点在线段的延长线上时，，当点在线段的延长线上时，，从而得，由双曲线的定义知，点的轨迹是双曲线，故A错，B对；选项C，点的轨迹方程为，当时，，所以，故C对；选项D，当时，，所以，故D对，故选：BCD.三、填空题13．设点是圆上任意一点，由点向轴作垂线，垂足为,且，求点的轨迹的方程_______________.【解析】设，则由点向轴作垂线，垂足为,且，故，，，又点在圆上，，14．已知动圆与定圆内切，且动圆经过一定点．则动圆圆心的轨迹的方程是______．【解析】由可得，圆心,半径，动圆与定圆内切，且过，.动圆圆心P的轨迹E是以B、A为焦点,长轴长为6的椭圆.设椭圆方程为，则.椭圆的方程为.15．给出下列命题：①到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；②设，为两个定点，为常数且，若，则动点的轨迹是双曲线．③对任意实数，直线总与某一个定圆相切．④在平面内，到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆；⑤方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率其中真命题的序号是__________________（把你认为正确的命题的序号都填上）．【解析】对于①，由于定点在定直线上，可得到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是直线，不是抛物线，故①错误；对于②，设，为两个定点，为常数且，若，只有当时，动点的轨迹是双曲线，故②错误；对于③，由原点到直线的距离，故对任意实数，直线总与圆相切，故③正确；对于④，在平面内，到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹，只有当常数大于两定点间的距离时，才是椭圆，故④错误；对于⑤，求出方程的两个根：，，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故⑤正确；故答案为：③⑤16．已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为____________.【解析】由圆，圆得到，半径，，半径，设动圆的半径为，∵圆在圆内，∴动圆只能在内与圆内切，不能是在动圆内，即：，∵动圆与圆外切，∴，∵动圆与圆内切，∴，∴，即到和到的距离之和为定值，∴是以、为焦点的椭圆，且，，所以，∴动圆圆心的轨迹方程为，又圆过点，椭圆也过点，而点显然不在圆上，所以所求轨迹方程为：.四、解答题17．已知平面内两个定点，，过动点M作直线的垂线，垂足为N，且.（1）求点M的轨迹E的方程；（2）若直线与曲线E有且仅有一个交点，求实数k的取值范围.【解析】（1）设点M坐标为，则，，，，，，即：，点M的轨迹方程为；（2）将直线方程与曲线方程联立，，①当，即时，直线与曲线E渐近线平行，满足②当时，直线与曲线E相切，满足题意，解得综上，的取值范围为或.18．已知点，点Р是圆C：上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（1）求点E的轨迹方程；（2）若直线与点E的轨迹有两个不同的交点F和Q，且原点О总在以FQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．【解析】（1）由题意知，，，所以，所以E的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，设椭圆E的方程为，则，，所以，所以E的轨迹方程为．（2）设，，联立，消去y得，由得①，所以，．因为原点О总在以FQ为直径的圆的内部，所以，即．而，所以，即，所以，且满足①式，所以m的取值范围是．19．已知点，，直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的轨迹方程；（2）若抛物线与曲线交于点，设，求面积最大时的值.【解析】（1）设，由题意得，化简得，所以曲线的轨迹方程为；（2）不妨设抛物线与曲线在第一象限的交点为，则，因为点在曲线：上，所以，令，令，所以在上单调递增，在单调递减，所以，此时抛物线过点，所以.20．在平面直角坐标系中，点，过动点作直线的垂线，垂足为，且.记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线交曲线于不同的两点、.①若为线段的中点，求直线的方程；②设关于轴的对称点为，求面积的取值范围.【解析】（1）设，则.因为，所以，，则，所以，所以曲线的方程为；（2）①若的斜率为，则与曲线只有一个公共点，因此的斜率不为.设直线的方程为，设点、，由得，所以，解得或，由韦达定理可得，，因为为线段的中点，所以.所以，，可得，，解得，满足，所以，直线的方程为，即或；②因为点、关于轴对称，所以，于是点到直线的距离为，又，所以，因此，面积的取值范围是.21．在平面直角坐标系Oxy中，点F(1，0)，D为直线l:x=-1上的动点，过D作l的垂线，该垂线与线段DF的垂直平分线交于点M，记M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）若过点F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线x=1分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【解析】（1）连接，则，则根据抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线．则点的轨迹的方程为．（2）设直线的方程为，，，，，联立整理得，，，，直线的方程为，同理：直线的方程为，令得，，，设中点的坐标为，，则，，所以．．圆的半径为．所以为直径的圆的方程为．展开可得，，令，可得，解得或．所以以为直径的圆经过定点和．22．已知为圆的圆心，是圆上的动点，点，若线段的中垂线与相交于点.（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（2）过点的直线与点的轨迹分别相交于，两点，且与圆相交于，两点，求的取值范围.【解析】（1）由线段的垂直平分线可得：，所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，所以，，，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）可知，椭圆的右焦点为，①若直线的斜率不存在，直线的方程为，则，，，所以，，.②若直线的斜率存在，设直线的方程为，，.联立，可得，则，，所以.因为圆心到直线的距离，所以，所以.因为，所以.综上，.