高考数学微专题14 导数解答题之函数型数列不等式问题(解析版)

2023-11-18 · 22页 · 990.7 K

微专题14导数解答题之函数型数列不等式问题秒杀总结1.分析通项法:由于左边是一个求和(积)形式的表达式,右边是一个简单的式子,为了使得两者能够明显地显现出大小特征,有必要将两者统一成同一种形式,此处有两条路可走,一种是将左边的和式收拢,一种是将右边的式子分解.很明显,左边是无法收找的,因此需要将右边进行拆分,而拆分的原则就是和左边配对.假设右边,这样一来,相当于已知一个数列的前项之和,求,利用数列的知识可知.所以,接下来只需要证明即可.2.几种常见的数列放缩方法:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11);(12);(13).3.根据不等式的信息,利用题目的结论,得出不等式,然后对变量取合适的数据,再用数列求和法而得解.例1.(安徽省示范高中2021-2022学年高三上学期冬季联赛理科数学试题)已知函数.(1)若对,都有,求实数a的取值范围;(2)若(),其中,且,求证:对任意,都有:.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据题意可得,令,利用导数研究在参数、时的单调性,进而求出的最小值,进而得出结果;(2)由(1)可知,设,进而可得,结合题意有,利用求和的性质将变形为,进而得出结果.(1)由时:即:设:则:①若时,由,故,所以对任意,都有:此时函数在上单调递增,故对任意,都有:即:满足条件.②若时,由,故:故可得:x-0+极小值故函数在上单调递减,在上单调递增.故:不满足条件.综上,实数a的取值范围为.(2)由(1)可知,对任意,均有:设,则,故对任意,均有:即:则对任意,,都有:故:,所以:例2.(第23讲证明数列不等式-2022年新高考数学二轮专题突破精练)已知函数,为常数).(1)若方程在区间上有解,求实数的取值范围;(2)当时,证明不等式在,上恒成立;(3)证明,.(参考数据:)【答案】(1).(2)证明见解析.(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)将原方程化为.分离参数得.令.求导函数,分析导函数的符号得所令函数的单调性和值域,从而求得答案;(2)将不等式转化为.令.运用导函数求出的最小值,即可得证;不等式化为.令,运用导函数求出最大值,从而不等式可得证;(3)由已知得,由(2)得,,即,由此可得证.(1)解:,,方程可化为.即.令.则.由得,,或(舍去).当时,.单调递增.当时,.单调递减.,(1),.,时,.方程在区间,上有解等价于.(2)解:时,要证不等式,只需证,即.令.则,所以,时,单调递增.(4).当,时,恒成立.要证,只需证,即.令.,所以,时,单调递减.(4).当,时,恒成立.当时,证明不等式在,上恒成立.(3)解:,,由(2)可知,,,即,,,.例3.(第23讲证明数列不等式-2022年新高考数学二轮专题突破精练)已知二次函数图象经过坐标原点,其导函数为,数列的前项和为,点均在函数的图象上;又,,且,对任意都成立.(1)求数列,的通项公式;(2)求数列的前项和;(3)求证:①;②.【答案】(1),(2)(3)①证明见解析;②证明见解析【解析】【分析】(1)设出二次函数,求导可得与,进而求得,再利用退一相减法可求得与,再利用退一相减法求得;(2)由(1)求出,再利用分组求和与错位相减可得;(3)①构造函数,利用导数判断单调性,求最值即可得证;②根据①构造,再变形、赋值、放缩得:,代入化简后,再进一步放缩,利裂项相消法求和即可.(1)设二次函数,,,则,在上,当时,又时符合,,则,由得,①,令代入上式得,②,①②得,,即,又不满足上式,;(2)由(1)得,,③,④,③④得,,则,(3)①设,则,在上是增函数,,即,故;②,当,时,令代入上式得:,即,令代入上式得,,,则,故结论成立.过关测试1.(安徽省合肥市第一中学2021-2022学年高三上学期11月月考文科数学试题)已知函数.(1)求函数的极值;(2)(i)当时,恒成立,求正整数的最大值;(ii)证明:.【答案】(1)答案见解析(2)(i)3;(ii)证明见解析【解析】【分析】(1)求导后,分k≤0和k>0讨论即可;(2)(i)转化为寻求f(x)min>0,需要找隐零点的范围(ii)将所证结论两边取对数,再运用(i)的结论可得,令x=1+n(n+1),则ln[n(n+1)+1]>2﹣,从而可证.(1),x>0,当k≤0时,f′(x)>0,函数在(0,+∞)上单调递增,没有极值;当k>0时,由f′(x)>0得x>k,由f′(x)<0得0<x<k,所以f(x)在(0,k)上单调递减,在(k,+∞)上单调递增,此时函数f(x)的极小值f(k)=lnk﹣k+2,没有极大值;(2)(i)当x>1时,f(x)>0恒成立,即只要f(x)min>0即可,由(1)k>0时,f(x)在(0,k)上单调递减,在(k,+∞)上单调递增,(a)若k≤1时,f(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)min>f(1)=1满足题意;(b)当k>1时,f(x)在(0,k)上单调递减,在(k,+∞)上单调递增,f(x)min=f(k)=lnk﹣k+2>0,令g(x)=lnx﹣x+2,则<0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减,且g(2)=ln2>0,g(3)=ln3﹣1>0,g(4)=ln4﹣2<0,所以存在x0∈(3,4)使得g(x0)=0,则g(x)=lnx﹣x+2>0的解集为(1,x0),综上k的取值范围(﹣∞,x0),其中x0∈(3,4),所以正整数k的最大值3;(ii)证明:要证两边取对数,即证也即证由(i)知,令x=1+n(n+1),则ln[n(n+1)+1]>2﹣所以所以(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>.2.(重庆市第八中学2022届高三上学期高考适应性月考(四)数学试题)已知函数.(1)若,求的值;(2)证明:对一切均有成立.(其中为自然对数的底数).【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)求出函数导数,分类讨论确定函数单调性求出最值即可求解;(2)命题转化为,根据(1)构造函数不等式可证,再根据裂项累加的方法得到.(1)由题知定义域为,故等价于,注意到,,若,则,故在上单调递增,从而时,,舍去;若,令,得,从而在上单调递减,在上单调递增,故,由,则必有.(2)证明:一方面:命题等价于:,由(1)可知,当时,恒有,令得,,从而,当时等号成立.在上式中令,得到,从而,即,从而另一方面:.由以上两方面可知,命题成立.【点睛】利用导数证明不等式,一般要结合所证不等式,抽象构造出函数,利用导数求出函数的单调性或最值,证明不等式成立,然后把已经证明的不等式替换,或应用得到需要证明的不等式,能力要求较高,属于难题.3.(第23讲证明数列不等式-2022年新高考数学二轮专题突破精练)设函数,.(1)若函数在定义域内单调递减,求的取值范围;(2)设,证明:(为自然对数的底数).【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由于在内单调递减,则对恒成立,求出的导数,再根据分离参数法,即可求出结果;(2)取,由第(1)问可知在为单调递减函数,可知,即对成立,令,则有,根据不等式放缩和裂项相消法即可求证结果.(1)解:函数的定义域为,且,则,由于在内单调递减,则对恒成立,即对恒成立,从而,则,故的取值范围为(2)证明:取,由第(1)问可知在为单调递减函数,从而;则对成立,令,有;从而,故.4.(贵州省贵阳市第一中学2022届高三上学期高考适应性月考卷(五)数学(文)试题)已知函数.(1)证明:当时,;(2)证明:.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)利用导数分析函数在区间上的单调性,可得出,即可证得结论成立;(2)由不等式的性质可得,同理,,,,可证得,再利用函数在上的单调性证得,即可证得结论成立.(1)证明:,当时,,所以,函数在区间上单调递增,当时,,即.(2)证明:先证,即证,又,同理,,,,所以,,即,故,再证,即证,即证,即证,由(1)知,当时,,函数在上单调递增,即当时,,取,则,因此,.5.(山东省2021届高考考前热身押题卷数学试题)函数,(1),求的单调区间;(2)若在上恒成立,求实数的取值范围;(3)令函数,求证:.【答案】(1)单调减区间为,;单调增区间为,.(2);(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)对函数求导,判断与,即可得单调区间;(2)将不等式转化为恒成立,然后构造新函数,根据不等式恒成立列不等式组求解,代入构造新函数,然后分类讨论证明;(3)利用(2)的结论,可得,令,,,,2,…,8,代入,即可证明不等式.【详解】(1),,当,时,,当,时,,所以,的单调递增区间是,.的单调递减区间是,.(2)不等式恒成立等价于在上恒成立,令,则由可得,∵可以看作是关于的一次函数,单调递增,∴令,对于,,恒成立.只需证明即可.①当,,则,在上单调递减,又,所以此时恒成立.②当时,恒成立,所以在上单调递增,又,所以此时恒成立.③当时,单调递增,,,所以在上存在唯一的,使得,当时,,当时,,所以在时单调递减,在时单调递增.∴,,∴恒成立,故恒成立,∴.(3)由(2)可知令,,,,2,…,8,可得到,从而,即得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.6.(全国2022届高三第一次学业质量联合检测理科数学(老高考)试题)已知函数.(1)求函数的单调区间及最值;(2)证明:,.【答案】(1)函数的单调递增区间是,单调递减区间是,函数的最小值是,无最大值;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求的导函数,判断时,,当时,求,逐步判断和的正负,得到的单调性.(2)利用第(1)问的结论,时,,将放缩变形为,【详解】(1)解:,当时,,所以,单调递减;当时,,所以单调递增,,所以,所以单调递增.所以.综上,函数的单调递增区间是,单调递减区间是,函数的最小值是,无最大值.(2)证明:由第(1)问知,当时,,取,,,,…,,,有故,,,……所以.7.(全国新高考2021届高三数学方向卷试题(A))已知函数,其中,.(1)若,证明:;(2)若单调递增,求a的取值范围;(3)当且时,证明:.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)由,得到,然后用导数法证明;(2)求导,根据,得到,时,由(1)可知成立,当时,,再分,讨论求解;(3)由(2),取,得到时,,从而得到,再取(),得到,进而得到,然后利用裂项相消法证明.【详解】(1)当时,,有,所以单调递增,有;(2)由,依题意有,得,当时,由(1)可知单调递增,符合;当时,(i)若,即,由(1)可知,所以单调递增,符合;(ii)若,,记,,,所以单调递增,又,,故可知有唯一零点,记为,所以,有,单调递减,所以,所以,单调递减,不符合;综上可知;(3)取,由(2)可知单调递增,有,即,有,可得,取(),则有,所以,所以,故不等式得证.【点睛】关键点点睛:本题第三问关键是根据不等式的信息,利用第二问的结论,取,得到,转化为,再取(),则构造,再用数列求和法而得解.8.(山东省济宁市嘉祥县第一中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题)已知函数,,.(1)求的最大值;(2)若对,总存在,使得成立,求实数的取值范围;(3)证明不等式(其中是自然对数的底数).【答案】(1)0(2)(3)证明见解析【解析】【分析】(1)求导得到单调区间,计算最值得到答案.(2)题目转化为存在,使得,考虑,,,分别考虑函数的单调性计算最值得到答案.(3)根据前面结论得到,,代入式子结合等比数列求和公式化简得到证明.(1),,,当时,,当时,,所以在上

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