高考数学微专题14 导数解答题之函数型数列不等式问题（解析版）

微专题14导数解答题之函数型数列不等式问题秒杀总结1.分析通项法：由于左边是一个求和(积)形式的表达式，右边是一个简单的式子，为了使得两者能够明显地显现出大小特征，有必要将两者统一成同一种形式，此处有两条路可走，一种是将左边的和式收拢，一种是将右边的式子分解.很明显，左边是无法收找的，因此需要将右边进行拆分，而拆分的原则就是和左边配对.假设右边，这样一来，相当于已知一个数列的前项之和，求，利用数列的知识可知.所以，接下来只需要证明即可.2.几种常见的数列放缩方法：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）.3.根据不等式的信息，利用题目的结论，得出不等式，然后对变量取合适的数据，再用数列求和法而得解.例1．（安徽省示范高中2021-2022学年高三上学期冬季联赛理科数学试题）已知函数.(1)若对，都有，求实数a的取值范围；(2)若（），其中，且，求证：对任意，都有：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据题意可得，令，利用导数研究在参数、时的单调性，进而求出的最小值，进而得出结果；(2)由（1）可知，设，进而可得，结合题意有，利用求和的性质将变形为，进而得出结果.(1)由时：即：设：则：①若时，由，故，所以对任意，都有：此时函数在上单调递增，故对任意，都有：即：满足条件.②若时，由，故：故可得：x－0+极小值故函数在上单调递减，在上单调递增.故：不满足条件.综上，实数a的取值范围为.(2)由（1）可知，对任意，均有：设，则，故对任意，均有：即：则对任意，，都有：故：，所以：例2．（第23讲证明数列不等式-2022年新高考数学二轮专题突破精练）已知函数，为常数）.(1)若方程在区间上有解，求实数的取值范围；(2)当时，证明不等式在，上恒成立；(3)证明，.（参考数据：）【答案】(1).(2)证明见解析.(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）将原方程化为.分离参数得.令.求导函数，分析导函数的符号得所令函数的单调性和值域，从而求得答案；（2）将不等式转化为.令.运用导函数求出的最小值，即可得证；不等式化为.令，运用导函数求出最大值，从而不等式可得证；（3）由已知得，由（2）得，，即，由此可得证.(1)解：，，方程可化为.即.令.则.由得，，或（舍去）.当时，.单调递增.当时，.单调递减.，（1），.，时，.方程在区间，上有解等价于.(2)解：时，要证不等式，只需证，即.令.则，所以，时，单调递增.（4）.当，时，恒成立.要证，只需证，即.令.，所以，时，单调递减.（4）.当，时，恒成立.当时，证明不等式在，上恒成立.(3)解：，，由（2）可知，，，即，，，.例3．（第23讲证明数列不等式-2022年新高考数学二轮专题突破精练）已知二次函数图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上；又，，且，对任意都成立.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)求证：①；②.【答案】(1)，(2)(3)①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）设出二次函数，求导可得与，进而求得，再利用退一相减法可求得与，再利用退一相减法求得；（2）由（1）求出，再利用分组求和与错位相减可得；（3）①构造函数，利用导数判断单调性，求最值即可得证；②根据①构造，再变形、赋值、放缩得：，代入化简后，再进一步放缩，利裂项相消法求和即可.(1)设二次函数，，，则，在上，当时，又时符合，，则，由得，①，令代入上式得，②，①②得，，即，又不满足上式，；(2)由（1）得，，③，④，③④得，，则，(3)①设，则，在上是增函数，，即，故；②，当，时，令代入上式得：，即，令代入上式得，，，则，故结论成立.过关测试1．（安徽省合肥市第一中学2021-2022学年高三上学期11月月考文科数学试题）已知函数．(1)求函数的极值；(2)（i）当时，恒成立，求正整数的最大值；（ii）证明：．【答案】(1)答案见解析(2)（i）3；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后，分k≤0和k>0讨论即可；（2）（i）转化为寻求f(x)min>0，需要找隐零点的范围（ii）将所证结论两边取对数，再运用（i）的结论可得，令x＝1+n（n+1），则ln[n（n+1）+1]＞2﹣，从而可证.(1)，x＞0，当k≤0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增，没有极值；当k＞0时，由f′（x）＞0得x＞k，由f′（x）＜0得0＜x＜k，所以f（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，此时函数f（x）的极小值f（k）＝lnk﹣k+2，没有极大值；(2)（i）当x＞1时，f（x）＞0恒成立，即只要f（x）min＞0即可，由（1）k＞0时，f（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，（a）若k≤1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）min＞f（1）＝1满足题意；（b）当k＞1时，f（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（k）＝lnk﹣k+2＞0，令g（x）＝lnx﹣x+2，则＜0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，且g（2）＝ln2＞0，g（3）＝ln3﹣1＞0，g（4）＝ln4﹣2＜0，所以存在x0∈（3，4）使得g（x0）＝0，则g（x）＝lnx﹣x+2＞0的解集为（1，x0），综上k的取值范围（﹣∞，x0），其中x0∈（3，4），所以正整数k的最大值3；（ii）证明：要证两边取对数，即证也即证由（i）知，令x＝1+n（n+1），则ln[n（n+1）+1]＞2﹣所以所以（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞．2．（重庆市第八中学2022届高三上学期高考适应性月考（四）数学试题）已知函数.(1)若，求的值；(2)证明：对一切均有成立.（其中为自然对数的底数）.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数导数，分类讨论确定函数单调性求出最值即可求解；（2）命题转化为，根据（1）构造函数不等式可证，再根据裂项累加的方法得到.(1)由题知定义域为，故等价于，注意到，，若，则，故在上单调递增，从而时，，舍去；若，令，得，从而在上单调递减，在上单调递增，故，由，则必有.(2)证明：一方面：命题等价于：，由（1）可知，当时，恒有，令得，，从而，当时等号成立.在上式中令，得到，从而，即，从而另一方面：.由以上两方面可知，命题成立.【点睛】利用导数证明不等式，一般要结合所证不等式，抽象构造出函数，利用导数求出函数的单调性或最值，证明不等式成立，然后把已经证明的不等式替换，或应用得到需要证明的不等式，能力要求较高，属于难题.3．（第23讲证明数列不等式-2022年新高考数学二轮专题突破精练）设函数，.(1)若函数在定义域内单调递减，求的取值范围；(2)设，证明：（为自然对数的底数）.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由于在内单调递减，则对恒成立，求出的导数，再根据分离参数法，即可求出结果；（2）取，由第（1）问可知在为单调递减函数，可知，即对成立，令，则有，根据不等式放缩和裂项相消法即可求证结果.(1)解：函数的定义域为，且，则，由于在内单调递减，则对恒成立，即对恒成立，从而，则，故的取值范围为(2)证明：取，由第（1）问可知在为单调递减函数，从而；则对成立，令，有；从而，故.4．（贵州省贵阳市第一中学2022届高三上学期高考适应性月考卷（五）数学（文）试题）已知函数.(1)证明：当时，；(2)证明：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出，即可证得结论成立；（2）由不等式的性质可得，同理，，，，可证得，再利用函数在上的单调性证得，即可证得结论成立.(1)证明：，当时，，所以，函数在区间上单调递增，当时，，即.(2)证明：先证，即证，又，同理，，，，所以，，即，故，再证，即证，即证，即证，由（1）知，当时，，函数在上单调递增，即当时，，取，则，因此，.5．（山东省2021届高考考前热身押题卷数学试题）函数，（1），求的单调区间；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）令函数，求证：.【答案】（1）单调减区间为，；单调增区间为，.（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导，判断与，即可得单调区间；（2）将不等式转化为恒成立，然后构造新函数，根据不等式恒成立列不等式组求解，代入构造新函数，然后分类讨论证明；（3）利用（2）的结论，可得，令，，，，2，…，8，代入，即可证明不等式.【详解】（1），，当，时，，当，时，，所以，的单调递增区间是，.的单调递减区间是，.（2）不等式恒成立等价于在上恒成立，令，则由可得，∵可以看作是关于的一次函数，单调递增，∴令，对于，，恒成立.只需证明即可.①当，，则，在上单调递减，又，所以此时恒成立.②当时，恒成立，所以在上单调递增，又，所以此时恒成立.③当时，单调递增，，，所以在上存在唯一的，使得，当时，，当时，，所以在时单调递减，在时单调递增.∴，，∴恒成立，故恒成立，∴.（3）由（2）可知令，，，，2，…，8，可得到，从而，即得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．6．（全国2022届高三第一次学业质量联合检测理科数学（老高考）试题）已知函数．（1）求函数的单调区间及最值；（2）证明：，．【答案】（1）函数的单调递增区间是，单调递减区间是，函数的最小值是，无最大值；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）求的导函数，判断时，，当时，求，逐步判断和的正负，得到的单调性.（2）利用第（1）问的结论，时，，将放缩变形为，【详解】（1）解：，当时，，所以，单调递减；当时，，所以单调递增，，所以，所以单调递增．所以．综上，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，函数的最小值是，无最大值．（2）证明：由第（1）问知，当时，，取，，，，…，，，有故，，，……所以．7．（全国新高考2021届高三数学方向卷试题（A））已知函数，其中，．（1）若，证明：；（2）若单调递增，求a的取值范围；（3）当且时，证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）由，得到，然后用导数法证明；（2）求导，根据，得到，时，由（1）可知成立，当时，，再分，讨论求解；（3）由（2），取，得到时，，从而得到，再取（），得到，进而得到，然后利用裂项相消法证明.【详解】（1）当时，，有，所以单调递增，有；（2）由，依题意有，得，当时，由（1）可知单调递增，符合；当时，（i）若，即，由（1）可知，所以单调递增，符合；（ii）若，，记，，，所以单调递增，又，，故可知有唯一零点，记为，所以，有，单调递减，所以，所以，单调递减，不符合；综上可知；（3）取，由（2）可知单调递增，有，即，有，可得，取（），则有，所以，所以，故不等式得证．【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是根据不等式的信息，利用第二问的结论，取，得到，转化为，再取（），则构造，再用数列求和法而得解.8．（山东省济宁市嘉祥县第一中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题）已知函数，，．(1)求的最大值；(2)若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；(3)证明不等式（其中是自然对数的底数）．【答案】(1)0(2)(3)证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到单调区间，计算最值得到答案.（2）题目转化为存在，使得，考虑，，，分别考虑函数的单调性计算最值得到答案.（3）根据前面结论得到，，代入式子结合等比数列求和公式化简得到证明.(1)，，，当时，，当时，，所以在上