2024届西藏自治区拉萨市高三上学期第一次模拟考试理科数学试题

拉萨市2024届高三第一次模拟考试数学理科注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，则（）A． B． C． D．2．已知复数为纯虚数，则实数的值为（）A． B．0 C．1 D．23．双曲线的焦点坐标为（）A． B． C． D．4．将函数的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则（）A． B． C． D．5．函数的部分图象大致为（）A． B． C． D．6．已知拋物线的焦点为，点在抛物线上，且为坐标原点，则（）A． B． C．4 D．57．二项式的展开式中的第3项为（）A．160 B． C． D．8．若变量满足约束条件则的最小值为（）A． B． C． D．9．若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．10．的值为（）A． B．0 C．1 D．211．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“距”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具．有一圆形木板，首先用矩测量其直径，如左图，矩的较长边为，较短边为，然后将这个圆形木板截出一块四边形木板，该四边形的顶点都在圆周上，如右图，若，则（）A． B． C． D．12．已知函数的定义域为，且，当时，，则不等式的解集为（）A．，或 B．C．，或 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，空间向量．若，则______．14．已知正数满足，则的最小值为______．15．如果两个球的表面积之比为，那么两个球的体积之比为______．16．已知函数，函数的图象与轴的交点关于轴对称，当时，函数______；当函数有三个零点时，函数的极大值为______．（第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等差数列的前项和为．（1）求的通项公式；（2）记数列的前项和为，求．18．（12分）如图，正方体的棱长为2．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．19．（12分）当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．（1）求选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率；（2）记选取的3个科技企业中BAT中的个数为，求的分布列与期望．20．（12分）设椭圆的上顶点为，左焦点为．且在直线上．（1）求的标准方程；（2）若直线与交于两点，且点为中点，求直线的方程．21．（12分）已知函数为函数的导函数．（1）若，求的最小值；（2）若方程有解，求实数的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以左边原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；（2）过直线上一点作曲线的切线，切点为，求的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）求不等式的解集；（2）证明：，使得．拉萨市2024届高三第一次模拟考试数学理科参考答案及评分细则1．【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，故选A．2．【答案】D【解析】因为为纯虚数，所以解得，故选D．3．【答案】C【解析】因为，所以，得，所以焦点坐标为和，故选C．4．【答案】A【解析】将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，因为为偶函数，且，所以，得，故选A．5．【答案】A【解析】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除CD；根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除B，故选A．6．【答案】B【解析】设，由得，又，得，所以，故选B．7．【答案】C【解析】因为，所以，故选C．8．【答案】C【解析】根据约束条件画出如图所示的可行区域，再利用几何意义知表示点与点连线的斜率，易知直线的斜率最小，由得，所以，故选C．9．【答案】B【解析】由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，腰长为，底边长为2，所以圆锥的母线长，底面圆半径，所以该圆锥的侧面积为，故选B．10．【答案】D【解析】，故选D．11．【答案】A【解析】因为，所以为圆的直径，由题意得，因为在以为直径的圆上，所以，故选A．12．【答案】B【解析】解法一：由可知，的图象关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减；令，易知函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减，则关于轴对称，且在上单调递增，在上单调递减，故，故选B．解法二：取满足条件的特殊函数，令，则，故选B．13．【答案】1【解析】因为，所以，即，得．14．【答案】2【解析】依题意，，当且仅当时取等号．15．【答案】8:27（填也可以）【解析】因为球的表面积公式为，体积公式为，所以由两个球的表面积之比为可得它们的半径之比为，所以它们的体积之比为．16．【答案】（第一空2分，第二空3分）（第一空填也可以）【解析】，当时，函数有两个零点，其中一个为，另一个必为1，于是；当有3个零点时，因为函数的图象与轴的交点关于轴对称，所以0是函数的零点，从而1也是函数的零点，于是，由，得，显然当时，函数有极大值，极大值为．17．解：（1）设的公差为，由已知得解得．故．（2），所以．【评分细则】第（2）小题的结果若写成或，不扣分．18．（1）证明：平面平面，平面．（2）解：如图，以为原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，所以，设平面的法向量为，由得令，得，．所以直线与平面所成角的正弦值为．【评分细则】如果第一问使用其他方法证明且步骤无误，不扣分．19．解：（1）选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率为．（2）由题意，的所有取值为，，，所以的分布列为0123．【评分细则】1．如有其他解法若正确，也给满分；2．第（2）问最终结果不化为最简扣1分．20．解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，所以，因此的标准方程为．（2）当直线的斜率不存在时，，联立解得或，故，不满足，即不是的中点，不符合题意．当直线的斜率存在时，设直线．联立可得，即．所以．由于为的中点，所以，即，解得．综上，直线的方程为，即．【评分细则】第（2）题中也可以通过其他方法得出斜率的值，步骤结果无误，可给满分．21．解：（1）当时，，，设，则，在上单调递增，且，所以时，单调递减，时，单调递增，所以．（2）即，即，设，则，，设，则，所以时，单调递减，时，单调递增，所以，即在上单调递增，所以方程有解即在上有解，即有解，即有解，设，则，时，单调递增，时，单调递减，所以，当时，，所以，即实数的取值范围是．【评分细则】如有其他解法若正确，也给满分．22．解：（1）依题意，由消去，得直线的直角坐标方程为；因为，故，即曲线的普通方程为．（2）由（1）知，曲线表示以为圆心，1为半径的圆，所以，要使得最小，只需最小，又，所以的最小值为．【评分细则】如用其他解法，结果正确步骤无误给满分．23．（1）解：因为，所以．当时，原式化为，解得，则；当时，原式化为，解得；当时，原式化为，解得，则，综上所述，原不等式的解集为．（2）证明：依题意，，当且仅当时取等号，又，当且仅当时取等号，故，使得．【评分细则】第（1）问写成集合形式和区间形式都给分，写成不等式形式扣1分．