河南省南阳市第一中2023-2024学年高三12月月考数学试题（解析版）

高三数学一.选择题（共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【详解】当，，且时，，当且仅当时等号成立，所以，充分性成立；，，满足，且，此时，必要性不成立.则“”是“”的充分不必要条件.故选：A2.在中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由三角形大边对大角可知，再由正弦定理可知充分性成立，同理可得必要性也成立.【详解】由题可知，又，可知，可得；又，所以，所以充分性成立；若，可得，即，又，，所以，可得，即；所以必要性成立；因此“”是“”的充要条件.故选：C3.已知，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的定义域可得，将代入，结合对数函数单调性运算求解.【详解】令，解得，可知的定义域为，可得，解得，关于不等式，即，整理得，且在定义域内单调递增，则，结合，解得，所以不等式的解集为.故选：D.4.若，则满足的大小关系式是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用构造函数法，结合导数来求得正确答案.【详解】由于，所以.设，在上单调递增，所以，所以当时，，则，即.设，，所以在上单调递增，，所以在上单调递增，，所以当时，，即，所以，而，所以，所以.故选：A【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.5.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的面积为（）A.4 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意求出点坐标，根据直线过焦点的直线，联立抛物线方程求出点的横坐标，根据抛物线的焦点弦的弦长公式求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以，又，所以4），即，又，所以，解得或，所以，又因为，点到直线的距离，所以的面积.故选：.6.曲线和，则和更接近圆的是（）A. B. C.相同 D.无法判断【答案】A【解析】【分析】根据题意，分别求出两个曲线的离心率进行比较，进而得出结论.【详解】分别将曲线和化为标准方程可得，，，由椭圆的性质可得，曲线的离心率为，曲线的离心率为，显然，因此曲线更接近圆.故选：A.7.的展开式中的系数为（）．A. B. C.40 D.80【答案】A【解析】【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可求得结果.【详解】因为的展开式通项为，，令，解得，因此的展开式中的系数为.故选：A.8.设为多面体的一个顶点，定义多面体在处的离散曲率为其中，为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，，…，，遍历多面体的所有以为公共点的面，如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体（每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体），若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据所给定义，结合图形，分别计算出a，b，c，d的值即可【详解】对于正四面体，其离散曲率；对于正八面体，其离散曲率；对于正十二面体，其离散曲率；对于正二十面体，其离散曲率；因为，所以，故选：B.二.多选题（共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知函数，则下列命题中正确的有（）A.在区间上单调递减B.若方程有唯一实数根的充要条件是C.对任意，都有成立D.若函数为奇函数，与的图象有4个交点，分别为，，，，则【答案】AD【解析】【分析】根据题意，由函数图象平移的规律分析可得A正确，举出反例可得B错误，由函数的定义域分析可得C错误，分析两个函数的对称性，可得其图象交点也关于点对称，进而分析可得D正确，即可得答案.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，函数，可以由函数向右平移1个单位，向上平移3个单位得到，故在区间上单调递减，A正确；对于B，当时，，有唯一解，故不是方程有唯一实数根的必要条件，B错误；对于C，函数，当时，，没有意义，故C错误；对于D，若函数为奇函数，将其图象向上平移3的单位，向右平移1个单位可得的图象，故的图象关于点对称，而，其图象也关于点对称，则与的图象的4个交点也关于点对称，则有，，故，D正确.故选：AD.10.已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（）A. B.C.的值是中最大的 D.使成立的最大正整数数的值为198【答案】ABD【解析】【分析】根据题目所给已知条件，结合等比数列的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】∵，∴，∴.∵，∴，又，∴.故A正确.由A选项的分析可知，，∴，∴，，故B正确，C不正确.∴，，∴使成立的最大正整数数的值为198，故D正确.故选：ABD11.光线自点射入，经倾斜角为的直线反射后经过点，则反射光线经过的点为（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】先求点关于直线的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验【详解】由题意知，，设点关于直线的对称点为，则，解得，所以反射光线所在的直线方程为，所以当时，；当时，，故选：BC12.下列说法正确的是（）A.已知命题，，则，B.“函数是偶函数”的必要条件是“函数满足”C.已知随机变量服从正态分布，若，则D.若，则三次函数有且仅有一个零点【答案】ACD【解析】【分析】根据全称命题的否定判断A；根据必要条件以及充分条件的判定判断B；根据正态分布的对称性判断C；利用导数判断函数单调性，结合零点的判定定理判断D.【详解】由含有一个量词的命题的否定定义可知，命题，，则，，A正确；由可得，，即可得是偶函数，又由是偶函数，可得，当时，无法推出，故“函数满足”是“函数是偶函数”的充分不必要条件，故B错误；随机变量服从正态分布，由正态分布的性质可知，对称轴为，由可得，故C正确；三次函数，，，或恒成立，等号仅在时成立，即在上单调，又当取无穷大正数或无穷小的负数时，函数值可以取到正无穷大或负无穷小，故三次函数有且仅有一个零点，故D正确.故选：ACD.三.填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.已知关于x的不等式的解集是，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】由条件知与同解，再对分类讨论，结合二次函数的图象和性质求出实数的取值范围.【详解】由，解得或，由条件知与同解，当时，显然不符合条件；所以，或，即，或，解得或，即.所以的取值范围为.故答案为：.14.已知函数，若对不相等的正数，有成立，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】对于函数整理变形，再利用，可得，利用基本不等式求解最小值.【详解】，由不相等的正实数，且，则，则，因为，所以，故，则，又，所以，当且仅当，即，时取等号，故的最小值为.故答案为：15.如图，已知在矩形ABCD中，，，M为边BC的中点，将，分别沿着直线AM，MD翻折，使得B，C两点重合于点P，则点P到平面MAD的距离为______．【答案】##【解析】【分析】由题意可得平面，设点到平面MAD的距离为h，然后利用等体积法可求得结果.【详解】因为ABCD为矩形，所以，，因为，平面，所以平面，因为，所以，，点到平面MAD的距离为h，，所以，解得．故答案为：16.的展开式中的系数为______（用数字作答）．【答案】【解析】【分析】，然后两次利用通项公式求解即可；【详解】因为，设其展开式的通项公式为：，令，得的通项公式为，令，所以的展开式中，的系数为，故答案为：四.解答题（共6小题，共70分）17.已知正数，满足．（1）当，取何值时，有最大值？（2）若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据基本不等式直接求解即可；（2）只需得到，由基本不等式“1”的妙用求出，从而得到，求出答案.【小问1详解】因为正数，满足，由基本不等式得，解得，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为【小问2详解】要想恒成立，只需，正数，满足，所以，当且仅当，即时，等号成立，故，解得，所以实数的取值范围是.18.已知集合，，.（1）若，求实数a取值范围；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将元素1代入集合B中的不等式中，解不等式求解即可．（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.详解】（1）若，则，得；（2）由，得，即，所以，，因为“”是“”的充分不必要条件，所以B是A的真子集，即，解得.即实数a的取值范围是.【点睛】关键点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，根据定义将充分不必要条件转化为集合关系是解决本题的关键．19.已知函数的最小正周期为（1）求函数的解析式；（2）若的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式化简变形后，再利用周期可求出，从而可求出函数解析式，（2）由可求出，再由可求得，然后利用正弦定理可求得结果.小问1详解】由题意，．因为的最小正周期为，所以，所以，所以【小问2详解】由可得，故或．所以或因为，所以．又，所以由正弦定理可得20.如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．（1）求异面直线EF与所成角的大小．（2）证明：平面．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解；（2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：，，，，，∴，，，．（1），∴∴异面直线EF和所成的角为．（2）∴，即，∴即．又∵，平面且∴平面．21.2025年四川省将实行3＋1＋2的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理，历史中2选1，再从政治、地理、化学、生物中4选2，形成自己的高考选考组合.（1）若某小组共6名同学根据方案进行随机选科，求恰好选到“物化生”组合的人数的期望；（2）由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求.随机选取100名高一新生进行调查，得到如下统计数据，写出下列联表中a，d的值，并判断是否有95％的把握认为“选科与性别有关”？选择物理选择历史合计男生a10女生30d合计30附：.0100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357879【答案】（1）（2）40，20，有95％的把握认为“选科与性别有关【解析】【分析】（1）根据列举法求出一个学生恰好选到“物化生”组合的概率，确定6名同学根据方案进行随机选科，符合二项分布，即可求得答案；（2）由题意确定的值，计算的值，与临界值表比较，即得结论.【小问1详解】设物理、历史2门科目为，政治、地理、化学、生物科目为，则根据高考选考组合要求共有组合为，，共12种，所以一个学生恰好选到“物化生”组合的概率为，则6名同学根据方案进行随机选科，符合二项分布，故恰好选到“物化生”组合的人数的期望为；【小问2详解】由题意可得；则，所以有95％的把握认为“选科与性别有关”.22.均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛应用，具体为：．（1）证明不等式：.