重庆市育才中学、万州高级中学及西南大学附中2024届高三上学期12月三校联考数学试题（原卷版）

西南大学附属中学重庆育才中学万州高级中学高2024届拔尖强基联盟高三上十二月联合考试数学试题（满分：150分：考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则复数的虚部为（）A. B. C. D.2.设集合，，则中元素的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.43.已知，则的最小值为（）A.6 B.8 C.9 D.104.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，那么当底面水平放置时，水面高为（）A. B. C. D.5.加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有（）种A.90 B.125 C.180 D.2436.表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则（）A. B. C. D.7.过双曲线上任一点作两渐近线的平行线，且与两渐近线交于，两点，且，则双曲线的离心率为（）A.3 B. C.2 D.8已知，，，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数的图象中相邻两条对称轴的距离是，现将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，且最大值为2，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期是 B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称 D.在上单调递减10.对自然人群进行普查，发现患某病的概率.为简化确诊手段，研究人员设计了一个简化方案，并进行了初步试验研究，该试验具有以下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被确诊为患病”，则有.根据以上信息，下列判断正确的是（）A. B.C. D.11.统计学中的标准分是以平均分为参照点，以标准差为单位，表示一个数据在整组数据中相对位置的数值，其计算公式是（）.若一组原始数据如下：序号12345对应值105668则下列说法正确的是（）A.该数组的平均值 B.对应的标准分C.该组原始数据的标准分的方差为1 D.存在，使得，同时成立12.定义域为的函数，的导函数分别为，，且，，则下列说法错误的为（）A.当是的零点时，是的极大值点B.当是的零点时，是的极小值点C.，可能有相同零点D.，可能有相同极值点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，若，则实数a＝___.14.已知，，则______.15.过直线上任意一点作圆：的两条切线，则切点分别是，则面积的最大值为______.16.已知四面体满足，它的体积为，其外接球球的表面积为，则点在球表面的轨迹长度为__________；线段长度的最小值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列中，，且.（1）求的通项公式；（2）求的前10项和.18.记的内角的对边分别为，已知（）.（1）求；（2）若是角的内角平分线，且，求周长的最小值.19.已知三棱锥中，，，，.（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面夹角的正弦值.20.在直角坐标系中，动点到轴的距离比点到点的距离少1.（1）求动点的轨迹方程；（2）当时，过点直线与交于两点，连接，延长与分别交于、两点，求与面积之和的最小值.21.“大地”渔业公司从、两不同设备生产厂商处共购买了80台同类型的设备.（1）若这80台设备购买渠道和一段时间后故障的记录如下表：从处购买（台）从处购买（台）运行良好（台）4614出现故障（台）146试根据小概率值的独立性检验，分析设备故障情况是否与购买渠道有关；（2）若每台设备发生故障的概率都是0.01，且发生故障时由一个人独立完成维修.现有两种配备维修工人的方案，甲方案是由4个人维修，每个人各自独立负责20台；乙方案是由3个人共同维护这80台.请判断在这两种方案下设备发生故障时不能及时维修的概率的大小关系？并从公司经营者的角度给出方案选择的建议.附：0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.87922.设函数，.（1）①当时，证明：；②当时，求的值域；（2）若数列满足，，，证明：（）.