新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市实验学校2023-2024学年高三上学期1月月考数学试题

乌鲁木齐市实验学校2023-2024学年高三上学期1月月考数学试题总分150分考试时间120分钟一、单项选择题（8小题每题5分共40分）1．已知复数z满足，则在复平面内，复数所对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，，若，则A． B． C．或 D．或或3．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )A．9 B．18 C．27 D．364．若函数是周期为的偶函数，当时，则=( )A． B． C． D．5．已知椭圆C1：与双曲线C2：有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点，C1恰好将线段AB三等分，则A． B． C． D．6．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是A． B． C． D．7．若，，则（    ）A． B． C． D．8．已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则二、多选题（共4小题每题五分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9．如图1，在中，，，，DE是的中位线，沿DE将进行翻折，连接AB，AC得到四棱锥（如图2），点F为AB的中点，在翻折过程中下列结论正确的是（    ）A．当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为B．四棱锥的体积的最大值为C．若三角形ACE为正三角形，则点F到平面ACD的距离为D．若异面直线AC与BD所成角的余弦值为，则A、C两点间的距离为210．设抛物线的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到时，，直线l与抛物线相交于A，B两点，点，则下列结论正确的是（    ）A．抛物线的方程为B．的最小值为6C．若线段AB中点的纵坐标为4，则直线l的斜率为2D．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切11．下列四个命题是真命题的是（    ）A．若函数的定义域为，则函数的定义域为B．函数的值域为C．若函数的两个零点都在区间为内，则实数的取值范围为D．已知在上是增函数，则实数的取值范围是12．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ）A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有一个红球的概率为C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．已知向量为单位向量，向量，且，则向量、的夹角为.14．已知正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为，则其体积为.15．已知圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦，则．16．集合的子集的个数是．四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。）17．如图，在△中，，，点，是线段（含端点）上的动点，且点在点的右下方，在运动的过程中，始终保持不变，设．(1)写出的取值范围，并分别求线段，关于的函数关系式；(2)求△面积的最小值．18．已知数列的前项和，对于，都满足，且．(1)求；(2)若，求数列的前项和．19．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校学生的数学成绩的中位数.（2）从被抽取的数学成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取个学生，设这四个学生中数学成绩为80分以上（包括分）的人数为（以该校学生的成绩的频率估计概率），求的分布列和数学期望.20．如图，在四棱台中，底面为矩形，平面⊥平面，且.(1)证明:面(2)若与平面所成角为，求锐二面角的余弦值.21．已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，直线m的方程为：，过点M作ME垂直于直线m交直线m于点E．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点O为坐标原点，求面积的最大值．22．函数，.(1)求函数的单调区间及极值；(2)若是函数的两个不同零点，求证：①；②.月考答案解析：1．B【分析】根据等式化简出，即可得到，则可选出答案.【详解】因为.所以.所以，其在复平面对应的点为在第二象限.故选：B.2．C【详解】试题分析：∵集合，，，∴或才能满足集合的互异性.故选C.考点：集合中子集的概念与集合中元素的互异性.3．B【详解】试题分析：根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得该单位老年职工共有90人，∵在抽取的样本中有青年职工32人，∴每个个体被抽到的概率是用分层抽样的比例应抽取×90=18人．故选B．考点：分层抽样点评：本题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过4．B【分析】根据函数周期性与奇偶性，将转化到范围内，再代入解析式即可.【详解】因为函数是周期为的偶函数，且当时，，则，故选:B．5．C【详解】由题意，C2的焦点为，一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易AB为圆的直径且AB=2a,∴C1的半焦距，于是得a2-b2=5①.设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：②，由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=由题得：，所以③,由②③得a2=11b2④,由①④得a2=5.5，b2=0.5.故选C6．C【详解】试题分析：由题意，知在区间上恒成立，即在区间上恒成立．因为，所以，所以，所以，故选C．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、两角和的正弦公式；3、正弦函数的图象与性质．7．B【分析】利用同角三角函数的基本关系与半角公式求解即可【详解】因为，，所以，因为，所以，，所以，，所以，则，故选：B.8．D【分析】根据已知条件及取等比数列进行验证，利用等比数列的性质即可求解.【详解】对于A，等比数列满足，但是，故A错误；对于B，等比数列满足，但是，故B错误，对于C，等比数列满足，但是，故C错误，对于D，若，由，所以等比数列为递减数列，故正确；若，由或，当时，等比数列为递减数列，故正确；当时，偶数项为正，奇数项为负，故正确；故D正确.故选：D.9．AB【分析】根据圆锥的表面积公式即可判断A,由锐角三角函数结合锥体的体积公式可表达出体积关系式,结合三角函数的性质即可判断B,根据长度关系可得垂直以及平行，结合等面积法得即可求解C,由线线角的几何法求解，结合余弦定理即可判断D.【详解】由题意，在中，，，，DE是的中位线，∴，，，∴，，对于A项，当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体为底面半径为，高为的半个圆锥，∴三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为：，故A正确；对于B项，设，则，设点到的距离为，则，∴四棱锥的体积为：，在中，，∴，∴四棱锥的体积的最大值为，故B正确；对于C，D项，当三角形ACE为正三角形时，，，取中点为,的中点，连接，，连接，在中，，点F为AB的中点，由于分别是的中点，所以,,,因此四边形为平行四边形，故由于平面,所以平面,平面,所以,因此四边形为矩形，则由于,所以平面,平面,所以，在中，，∴，为的中点，在中，为的中点，点F为AB的中点，，∴，而平面，即有平面，又平面，因此平面平面，而平面平面，所以点F到平面ACD的距离等于点F到直线DG的距离，则，，在中，在矩形中，，，，设点F到平面ACD的距离为，在中，，即，解得：，故C错误，对于D,由于,所以四边形为平行四边形，故，又，此时即为异面直线AC与BD所成的角或补角，由于，,,由余弦定理，解得，则A,C两点间的距离为，故D错误；故选：AB.10．BD【分析】对于A，利用抛物线的定义结合题意可求出的值，从而可得抛物线方程，对于B，过P作PE垂直于准线于E，结合图形利用抛物线的定义求解，对于C，利用点差法求解，对于D，利用抛物线的定义求解【详解】，故，，故，A错误；过P作PE垂直于准线于E，则，当P，E，M三点共线时等号成立，故B正确；设，，若AB中点的纵坐标为4，则，则，，相减得到，所以直线l的斜率，故C错误；如图所示：G为AF中点，故，故AF为直径的圆与y轴相切，故D正确．故选：BD．11．ACD【分析】选项A根据抽象函数的定义域可得；选项B运用换元法可求函数的值域；选项C根据二次函数区间根问题求参数可得；选项D根据分段函数在上增函数可得.【详解】选项A：函数的定义域为，则函数的中，得，故A正确；选项B：设，得，则，对称轴为，故函数在上单调递增，故，故B错误；选项C：若函数的两个零点都在区间为内，则，得，故C正确；选项D：若在上是增函数，则，得，故D正确.故选：ACD12．ABD【分析】A选项直接乘法公式计算；B选项分甲袋红球和乙袋红球两种情况；C、D选项先计算对立事件概率.【详解】对于A，，正确；对于B，，正确；对于C，，错误；对于D，，正确.故选：ABD.13．【解析】对两边平方解出，代入数量积的定义式解出夹角.【详解】向量为单位向量，向量，，，，，即，解得.设向量、的夹角为，则，，因此，.故答案为：.14．112【分析】根据已知条件，分别计算出上、下底面面积以及棱台的高，代入棱台体积公式进行计算即可得解.【详解】因为正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为，所以棱台的下底面积，上底面积，高，所以正四棱台的体积.故答案为：112.15．【分析】求出直线的方程后，利用点到直线的距离求出弦心距，再根据勾股定理可得结果.【详解】依题意可得直线的斜率为，所以直线的方程为：，即，由圆心到直线的距离可得弦心距，所以.故答案为：16．8【分析】根据正弦函数分别给k在一个周期内的值，并求出对应的x值，即求出集合A，再由集合A中元素的个数求出它的子集的个数．【详解】由题意的周期为6，,令k分别为0、1、2、3、4、5、6，∴x＝sin的值对应为：0、，，0，，，0，根据正弦函数的周期性知，A＝{，0，}，故它的子集的个数是23＝8个，故答案为：8．17．(1)，，；(2).【分析】（1）由题设可得，在△、△中应用正弦定理即可求得线段，关于的函数关系式；（2）由（1）及倍角正余弦公式、辅助角公式可得，结合的范围及正弦型函数的值域求最小值.【详解】（1）由题设，，在△中，而，所以，同理，，则.（2）由（1）知：，所以，则，当时，△面积的最小值为.18．(1)(2)【分析】（1）先证明数列是首项为1，公差为1的等差数列，再求出即可；（2）裂项相消求和可解.【详解】（1）时，，，又，数列是首项为1，公差为1的等差数列．，经验证，时也成立，．（2），．19．（1）分.（2）.（3）见解析.【详解】试题分析：⑴通过各组的频率和等于，求出第四组的频率，考查直方图，求出中位数即可；分别求出，，的人数是，，，然后利用古典概型概率求解即可；⑶判断概率类型，即可写出的分布列和数学期望解析：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：.直方图如图所示.中位数是，估计这次考试的中位数是分.（2），，的人数是，，，所以从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率：.（3）因为，，，所以其分布列为：012340.24010.41160.26460.07560.0081数学期望为.20．(1)证明见解析；(2).【详解】（1）