数学-THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2024年1月测试

中学生标准学术能力诊断性测试2024年1月测试二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对但不全得2分，有错选的得0分.数学试卷9．设,,为互不重合的平面，mn,为互不重合的直线，则下列命题为真命题的是本试卷共分，考试时间分钟。150120A．若,，则B．若=⊥mm,，则⊥⊥,一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是C．若mnmn,,，则D．若⊥⊥,，则x2符合题目要求的．10．已知点P为双曲线Cy:1−=2上的任意一点，过点作渐近线的垂线，垂足分别为EF,，41．已知mR，集合AmBaaA=−=,1,2,2，若CA=B，且C的所有元素和为12，则454则m=A．PEPF+=B．PEP=F55128A．B．0C．1D．2−3C．PEPF=−D．SPEF的最大值为2525．已知数列a满足n，则222naaaa111=−=1,2annnn++an=11．直线laxbyc1:0++=和lbxcya2:0++=将圆Cxy:111(−+−=)()分成长度相等的四段2121222．．．．弧，则(abc−+−+−111)()()的取值可以是An−1Bn−1CnDn21+221+21−48A．B．2C．D．33．复数z满足(z+=−2i1i)（i为虚数单位），则的共轭复数的虚部是33A．−3B．1C．D．−i12．已知sin2sin+=+22sin22()，且+kkZ，则tan2tan+++()3tan的值可能为4．在直三棱柱ABC−A1BC11中，所有棱长均为1，则点A1到平面AB1C的距离为A．B．C．D．821102110−6−552A．B．C．D．7564三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．n2n5．设(12+=++++xaa)xaxax，若aa56=，则n=012n13．设函数fx()的定义域为R，为偶函数，fx(+−21)为奇函数，当x2,4时，fx()=A．6B．7C．8D．9a+log2xb，若ff(064)+=()，则ab+=2．6．若不等式xxxx22−+458174+−+的解集为ab,，则ab+的值是xy2214．已知FF12,是椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点，P是C上一点，线段PF2的中垂ab22A．5B．42C．6D．79线l过点F，与椭圆相交于AB,两点，且AB=a，则椭圆C的离心率为．312e57．已知a=e,b=ln2,c=15−5ln5，则x215．已知函数gx()的图象与函数fxx()=−e的图象关于原点对称，动直线xaa=(0)与函数A．abcB．bcaC．acbD．bacfxgx(),()的图象分别交于点，函数fx()的图象在A处的切线l与函数gx()的图象133118．已知x,y0,x+y−x−y=3，则13xy+的最大值是在B处的切线l相交于点，则ABC面积的最小值是．4422222A．15B．18C．20D．2416．对任意的xR，不等式(x−7x+14)m(x−6x+13)(x−8x+17)恒成立，则实数m的取值范围为．第1页共4页第2页共4页{#{QQABDYKAogiAABAAABgCAQFKCEOQkAGCCAoOxAAEsAAAgRNABCA=}#}四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（12分）如图所示，已知ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，点M是边AB的中点，点2117．（10分）数列an的前n项和为San,11=，当n2时，Sn=−anSn．N在边BC上，且BN=3NC．以MN为折痕将BMN折起，使点B到达点D的位置，且平面21DMC⊥平面ABC，连接DA,DC．（1）求证：数列是等差数列，并求Sn的表达式；SnnS2（2）设b=n，数列b的前n项和为T，不等式Tmm−n+23对所有的nN*恒成n21n+nnn立，求正整数m的最小值．118．（12分）如图所示，在ABC中，ABD=1,是BC上的点，=BADDAC．2（第20题图）（1）若E是线段DM的中点，求证：NE平面DAC；（2）求二面角DACB−−的余弦值．21．（12分）如图所示，已知抛物线yxM=−21,0,1()，A，B是抛物线与x轴的交点，过点M作（第18题图）斜率不为零的直线l与抛物线交于C，D两点，与x轴交于点Q，直线AC与直线BD交于点P．21（1）若=BAC，求证：−=3；2ADAC1（2）若BDDC=，求ABC面积的最大值．419．（12分）如图所示，一只蚂蚁从正方体ABCDA−BC1111D的顶点A1出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬12行的概率为，沿正方体的侧棱爬行的概率为．（第21题图）63CMDM（1）求的取值范围；CD（2）问在平面内是否存在一定点T，使得TPTQ为定值？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．21ln−x22．（12分）已知函数fxxa()=+−有两个零点x1,x2(x1x2)．x（1）求实数a的取值范围；（第19题图）（2）求证：xx1；（1）若蚂蚁爬行n次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；12222（3）求证：x2−x1a−4x2−x1．（2）若蚂蚁爬行5次，记它在顶点C出现的次数为X，求X的分布列与数学期望．第3页共4页第4页共4页{#{QQABDYKAogiAABAAABgCAQFKCEOQkAGCCAoOxAAEsAAAgRNABCA=}#}中学生标准学术能力诊断性测试2024年1月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678ADBACCAC二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有错选的得0分．9101112ABBCDCDACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．5．14．134131．，15．216−2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）21（1）当n2时，数列an的前n项和为Sn，满足SaSnnn=−，222111即SSSSSSSnnnnnnn=−−=−−+(nnSS−−−111)，222整理可得2SSSSnnnn−−11=−········································································1分1S=1，则2SSSS=−，即21SS=−，可得S=·······························2分121122223211由2SSSS=−，即SS=−，可得S=,,2323333335*以此类推可知，对任意的nSN,0n，11在等式两边同时除以SSnn−1可得−=2·······················4分SSnn−1第1页共9页{#{QQABDYKAogiAABAAABgCAQFKCEOQkAGCCAoOxAAEsAAAgRNABCA=}#}11所以数列为等差数列，且其首项为=1，公差为2·································5分SSn111=+−=−12121nn()，因此，Sn=············································6分Sn21n−nS2111111（）解：b==+=+−n1，2n2142121482121nnnnn+−+−+()()n11=+−Tn1············································································8分4821n+2*22不等式Tnm−3m+n对所有的nN恒成立，则mm−+30，39+579−57即m或m·····································································9分66因此，满足条件的正整数m的最小值为3······················································10分18．（12分）1（1）证明：由==BACBADDAC,，知==BADDAC,，2263111SSSAB=++=ADADACAB,sinsinAC，ABCABDACD26232即ADADACAC+=32，21两边同除以ADAC，得−=3······················································5分ADAC（2）设=BAD，则=DAC2，ABBDABD中，由正弦定理，得=①，sinsinBDAACDCACD中，由正弦定理，得=②，sinCDAsin22②①，结合sinsin,4==BDACDADCBD，得AC=····················7分cos1sin33sin−4sin3S=ABACsin3===3tan−4tansin2ABC2coscos第2页共9页{#{QQABDYKAogiAABAAABgCAQFKCEOQkAGCCAoOxAAEsAAAgRNABCA=}#}tan3tantan23−=−=3tan4tan····································9分1tan1tan++223tt−3设tan0,3=t，即求函数yt=,0,3的最大值，()1+t2()(3−3t2)(1+t2)−(3t−t3)2t(23−3−tt22)(23+3+)y=22=，(11++tt22)()t2−(0,233)时，y0，函数单调递增；t2−(233,3)时，y0，函数单调递减，当2时，函数有最大值，，t=−233ymax=−639ABC面积的最大值为639−····························································12分19．（12分）（1）记蚂蚁爬行n次在底面ABCD的概率为Pn，212由题意可得，PPPP==+−,1()····················································3分11333nnn+111111PPPnnn+1−=−−−,是等比数列，首项为，公比为−，232263111111nn−−11························································5分PPnn−=−=+−,263263（2）X=0,1,2，X=2时，蚂蚁第3次、第5次都在C处，1121211212211111PX(==2222)++++=66363663633666618··············································································································7分X=1时，蚂蚁第3次在C处或第5次在C处，设蚂蚁第3次在C处的概率为P1，1121211211515211P