内蒙古呼和浩特市2024届高三上学期学业质量监测数学（文）试题（解析版）

呼和浩特市2023-2024学年第一学期高三年级学业质量监测文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上.2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一、选择题：本大题共12小题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，得到，利用交集概念进行求解.【详解】，故.故选：C2.已知复数z满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】用复数的四则运算法则求出，接着求出，即可得出共轭复数在复平面内对应的点所在的象限.【详解】由已知得，则，则在复平面内对应的点位于第四象限，故选：.3.已知直线、m、n与平面、，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则【答案】B【解析】【分析】ACD可举出反例；B选项，作出辅助线，由线面平行得到线线平行，进而由线面垂直得到面面垂直.【详解】A选项，如图1，满足，，但不垂直，A错误；B选项，如图2，因为，所以作平面，使得，且，则，因为，则，又，故，B正确；C选项，如图3，满足，，但不平行，C错误；D选项，如图4，满足，，，但不平行，D错误.故选：B4.已知是偶函数，则的值是（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意，由，得到，结合对数的运算法则，即可求解.【详解】由函数是偶函数，则，可得，即，所以，解得.故选：C.5.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（）A.9 B.12 C.15 D.16【答案】B【解析】【分析】设，根据勾股定理求得，得出，再根据数量积的定义即可得解.【详解】因为大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，所以,设，则，在中，，即，解得或（舍去），所以，易知在正方形中，，，，所以.故选：B.6.函数的图象可能为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据函数在上函数值的正负情况，利用排除法判断即可.【详解】函数的定义域为，又，因此函数为奇函数，函数图象关于原点对称，BD错误；当时，，，则，因此，C错误，A符合题意.故选：A7.已知等比数列的首项为1，公比为3，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由定义得到为首项为，公比为9的等比数列，利用求和公式求出答案.【详解】由题意得，故为首项为，公比为9的等比数列，则.故选：D8.用模型拟合一组数据组，其中，设，得变换后的线性回归方程为，则（）A. B. C.35 D.21【答案】B【解析】【分析】求出，即，得到答案.【详解】由题意得，故，即，故，解得.故选：B9.已知一个正三棱柱的三视图如下图所示，则该三棱柱的体积为（）A. B.12 C. D.16【答案】A【解析】【分析】根据题意，由三视图还原几何体，可得其底面边长，再由三棱柱的体积公式，代入计算，即可得到结果.详解】由三视图还原几何体如图所示，则底面正三角形一边上的高为，正四棱柱的高为2，设底面边长，则，解得，所以三棱柱的体积为.故选：A10.直线（）截圆所得弦长的最小值是（）A.2 B. C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】求出直线过的定点、圆的圆心坐标及半径，再利用圆的性质及弦长公式计算即得.【详解】依题意，直线过定点，圆的圆心，半径，，即点在圆内，当且仅当直线与直线垂直时，直线截圆所得弦长最短，所以所求最短弦长为.故选：C11.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将三棱锥补形为长方体，由勾股定理求出长方体的半径即可，得到表面积.【详解】将三棱锥补形为长方体，则长方体外接球即为三棱锥的外接球，如图，的中点即为外接球的球心，为直径，由勾股定理得，故半径为，球表面积为.故选：B12.定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出函数是周期为的周期函数，且函数的图象关于点对称，作出函数在上的图象以及函数的图象，数形结合可得出结果.【详解】因为定义在上的奇函数满足，则，所以，函数是周期为的周期函数，则，故函数的图象关于点对称，当时，，作出函数在上的图象以及函数的图象如下图所示：由图可知，函数在上的图象与函数的图象共有个交点，且这个交点有三对点关于点对称，因此，函数在上所有零点的和为.故选：B.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过其对称性和奇偶性得到其周期性，再作出两函数图象则得到交点个数.二、填空题：本大题共4小题.13.抛物线的焦点坐标为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意，结合抛物线的几何性质，即可求解.【详解】由抛物线，化为，可得，解得，所以抛物线的焦点坐标为.故答案为：.14.当x、y满足条件时，的最小值为__________.【答案】8【解析】【分析】画出可行域和目标函数，由几何意义求出最小值.【详解】画出可行域及目标函数，如下：阴影部分即为可行域，为直线与轴交点的纵坐标，由几何意义可知，当过点时，取得最小值，联立，解得，故.故答案为：815.已知等差数列是递增数列，且满足，，令，且，则数列的前项和为__________.【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得，进而求得，得到，结合裂项法求和，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，，可得其中，解得，所以，所以，可得，设数列的前项和为，则.故答案为：.16.已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、，过的直线与双曲线交于、两点（在第一象限，在第四象限），若，则该双曲线的离心率为______.【答案】##【解析】【分析】由已知条件设由双曲线的定义得再由勾股定理得，从而得，即可求出离心率.【详解】因为，设，由双曲线的定义得：所以故，，又因为，所以，所以,即，.所以双曲线的离心率.故答案为：.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个学生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题17.2023年秋末冬初，某市发生了一次流感疾病，某医疗团队为研究本地的流感疾病与当地居民生活习惯（良好、不够良好）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100人（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：良好不够良好病例组2575对照组4555（1）分别估计病例组和对照组中生活习惯为良好的概率；（2）能否有99%的把握认为感染此次流感疾病与生活习惯有关？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）0.45（2）有【解析】【分析】（1）根据病例组生活习惯为良好的频率，对照组为生活习惯为良好的频率，然后估计生活习惯为良好的概率从而可求解.（2）根据题意分别可知，，，从而求出，从而求解.【小问1详解】由调查数据，病例组为生活习惯为良好的频率，因此病例组为生活习惯为良好的概率的估计值为，对照组为生活习惯为良好的频率，因此对照组为生活习惯为良好的概率的估计值为.【小问2详解】由题意可知，所以，因为，所以有的把我说患有该疾病与生活习惯有关.18.在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c.已知，.（1）若，求角A；（2）若的面积，求边c.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用正弦定理求解；（2）利用面积公式和余弦定理求解【小问1详解】∵，则，∴，由正弦定理得，即，解得，又∵，∴，∴.【小问2详解】∵，∴，∴，∴，当时，由余弦定理得，，当时，由余弦定理得，，所以或.19.如图1，在直角梯形ABCD中，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将沿BE折起到如图2中的位置，得到四棱锥.图1图2（1）证明：；（2）当平面平面时，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由折叠前的图象可得，则在折叠后有、，结合线面垂直的判定定理与线面垂直的性质定理即可得；（2）结合面面垂直的性质定理与锥体体积公式计算即可得.【小问1详解】在图1中，连接,∵，，E是AD的中点，所以四边形是正方形，∴,∴在图2中，，，又，、平面，∴平面.又，且，∴四边形是平行四边形，∴，∴平面，又∵平面，∴；【小问2详解】∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又∵，，∴.20.已知椭圆：的焦距为2，点在椭圆C上，A、B分别为椭圆的左、右顶点.（1）求椭圆C的方程；（2）若点P是椭圆C上第二象限内的点，点Q在直线上，且，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】公众号：高中试卷君【分析】（1）根据焦距和点得到方程组，求出，，得到椭圆方程；（2）设，，根据垂直关系和相等关系得到方程组，求出，结合P是椭圆上第二象限内一点，求出，进而得到，从而求出三角形面积.【小问1详解】由椭圆C的焦距为2，故，则，又椭圆C经过点，代入C得，解得，，所以椭圆C的方程为.【小问2详解】由题：，，设，，显然，，，∵，则点P满足：①又∵，∴②联立①②得，解得，又点P在第二象限，且满足，∴，，∴把，，代入①得，∴又∵，∴，直线方程为：，∴点Q到直线AP的距离，∴.21.已知函数.（1）若，讨论函数的单调性；（2）若，，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】公众号：高中试卷君【分析】（1）利用导数，分类讨论，求函数的单调区间；（2）等于函数在区间上的最大值与最小值之差，由的单调性求，再利用导数通过单调性得取值范围.【小问1详解】由题意可知：的定义域为，，①当时，恒成立，在上单调递增；②当时，当或时，，在和上单调递增；当时，，在上单调递减；故当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】因为，等于函数在区间上的最大值与最小值之差，由（1）可知：当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故，又，.故当时，，，；当时，，，即：.当时，，在上单调递减，此时，即；当时，，在上单调递增，此时，即.综上所述：所以，的取值范围是.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（），曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的普通方程；（2）若，，在曲线上任取一点，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用可消去参数可得；（2）求出的普通方程和直线的方程可知两直线平行，利用平行线间的距离公式可得，易知，即可求出面积.【小问1详解】由的参数方程为（），消去可得的普通方程为；【小问2详解】易知的普通方程为，直线的斜率为，直线的方程为，即，可知直线与平行，则上任意一点到直线的距离，又，所以.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）将函数的图象与直线围成图形的面积记为，若正数、、满足，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）不等式等价于，两边平方进行求解即可.（2）分类讨论去绝对值，画出的图象，即可得到的值，再由利用基本不等式即可证明.【小问1详解】由可得，即，解得.所以不等式的解集为.【小问2详解】，其函数图象如下图，由图可知：，又因为、、均为正数，则（当且仅当时，等号成立）即，即.