数学-江苏省百校大联考2024届高三上学期第五次考试

2024届高三第五次大联考试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分．考试时间120分钟．2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4.本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角函数及解三角形（含三角恒等变换）、平面向量、复数、数列、立体几何（含空间向量）（约），直线与圆、圆锥曲线（约）．一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2已知，，且，则（）A. B.2 C. D.103.已知直线与直线平行，则的值为（）A.4 B. C.2或 D.或44.在中，点满足，点满足，若，则（）A B. C. D.5.设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（）A.3 B. C.9 D.6.若，则（）A B. C. D.7.圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一个镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，是它的一个焦点，一光线从焦点发出，射到镜面上点，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.8.若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（）A. B.C. D.10.已知圆O：与圆C：交于A，B两点，则下列说法正确的是（）A.线段AB的垂直平分线所在的直线方程为B.直线AB的方程为CD.若点P是圆O上的一点，则△PAB面积的最大值为11.如图，抛物线：的焦点为，过的直线交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（）A.若，则直线的方程为或B.C.以线段为直径的圆与轴相切D.12.已知函数的定义域为，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（）A. B.为偶函数C. D.三、填空题：本题共4小题．13.过点且与圆：相切直线方程为________14.若点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为________．15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知点，圆：，若圆上存在点，使得，则的取值范围是______.16.已知，，是椭圆上不同的三点，直线，直线交于点，直线交于点，记，的面积分别为，，若，则________．四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．18.已知数列的前n项和为，且．（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前n项和．19.已知，是双曲线：上的两点，点是线段的中点.（1）求直线的方程；（2）若线段的垂直平分线与相交于，两点，证明：，，，四点共圆.20.如图，在四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，．（1）求证：平面平面ABCD；（2）求直线与平面所成角的正弦值．21.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，其离心率为，点P是C上的一点（不同于A，B两点），且面积的最大值为．（1）求C的方程；（2）若点O为坐标原点，直线AP交直线于点G，过点O且与直线BG垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点E，直线BP交直线l于点F，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．22.已知函数．（1）若，求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在区间上存在极大值点，求证：．2024届高三第五次大联考试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分．考试时间120分钟．2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4.本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角函数及解三角形（含三角恒等变换）、平面向量、复数、数列、立体几何（含空间向量）（约），直线与圆、圆锥曲线（约）．一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得.【详解】由，即，即，解得，所以，又，所以.故选：C2.已知，，且，则（）A. B.2 C. D.10【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算及复数相等得到方程组，求出、的值，从而求模.【详解】因为，即，即，因为，，所以，解得，所以.故选：A3.已知直线与直线平行，则的值为（）A.4 B. C.2或 D.或4【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行得到，求出的值，再检验即可.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得或，当时直线与直线重合，不符合题意；当时直线与直线平行.故选：B4.在中，点满足，点满足，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用、作为一组基底表示出、，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.【详解】因为点满足，所以为的中点，所以，又，所以，所以，又，因为，所以，即，所以，解得，所以.故选：C5.设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（）A.3 B. C.9 D.【答案】B【解析】【分析】由题设可得，应用余弦定理、椭圆定义求得，最后应用三角形面积公式求面积.【详解】由题设，，可得，，由，，则，即，所以的面积.故选：B6.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式求出，再由及两角和的正切公式计算可得.【详解】因为，所以，所以，所以，所以.故选：D7.圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一个镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，是它的一个焦点，一光线从焦点发出，射到镜面上点，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，由题中条件可得，，在直角三角形中，，，由双曲线的定义可得，再求出离心率即可.【详解】在平面直角坐标系中，如图，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，由，，可得，.则，，记双曲线的焦距为，长轴长为，在直角三角形中，，，由双曲线定义，可得，所以，即，所以离心率.故选：A8.若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由对数函数的性质可得，构造函数，利用导数可得，则答案可求.【详解】因为，所以，所以，令，所以，则，，所以，即恒为递增函数，则，即，所以，综上：，故选：A.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】当直线的斜率不存在时不满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线方程，利用距离相等列方程求解即可.【详解】当直线的斜率不存在时，显然不满足题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.由已知得，所以或，所以直线的方程为或.故选：AC.10.已知圆O：与圆C：交于A，B两点，则下列说法正确的是（）A.线段AB的垂直平分线所在的直线方程为B.直线AB的方程为C.D.若点P是圆O上的一点，则△PAB面积的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】根据相交圆的公共弦与两圆心连线垂直平分判断A，再由两圆方程作差得公共弦所在直线判断B，根据弦心距、半径、半弦长关系求弦长判断C，再由圆上点到直线的最大距离为圆心到直线距离加半径长判断D.【详解】由圆C：知圆心为，所以直线OC的方程为，即，所以线段AB的垂直平分线所在的直线方程为，故A正确；因为圆O：与圆C：，两圆方程作差，可得直线AB的方程为，故B正确；点O到直线AB的距离，所以，故C错误；点到直线的距离的最大值为，则面积的最大值为，故D正确．故选：ABD．11.如图，抛物线：的焦点为，过的直线交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（）A.若，则直线的方程为或B.C.以线段为直径的圆与轴相切D.【答案】BCD【解析】【分析】对于A：设出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理及焦半径公式计算；对于B：通过计算来判断；对于C：通过计算线段的中点到轴的距离来判断；对于D：利用韦达定理分别计算即可判断.【详解】对于A：由题意知，，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，所以，，由得，所以，.若，则，解得或，所以直线的方程为或，故A错误；对于B：因为，，所以，所以，故B正确；对于C：由抛物线定义知，，线段中点的横坐标，即线段的中点到轴的距离是，所以以线段为直径的圆与轴相切，故C正确；对于D：，，所以，故D正确.故选：BCD.12.已知函数的定义域为，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（）A. B.为偶函数C. D.【答案】BCD【解析】【分析】对于A：令，后计算可判断；对于B：令后计算可判断；对于C：令后计算可判断；对于D：先通过变形确定函数的周期，然后利用周期来求解.【详解】对于A：令，，则，又，所以，故A错误；对于B：令，则，所以，所以为偶函数，故B正确；对于C：令，则，所以，由于，令，，即，即，故C正确；对于D：令，则，所以，所以，所以，所以，所以是周期为6的周期函数.令，则，即，所以，所以，，，，所以，故，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题．13.过点且与圆：相切的直线方程为________【答案】或【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程.【详解】圆：即，圆心为，半径，当切线的斜率不存在时，直线恰好与圆相切；当切线的斜率存在时，设切线为，即，则，解得，所求切线方程为，综上可得过点与圆相切的直线方程为或.故答案为：或14.若点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为________．【答案】##【解析】【分析】根据双曲线方程求出、、，设右焦点为，再由双曲线的定义计算可得.【详解】双曲线，则，，所以，设右焦点为，圆，圆心为，半径，圆，圆心为，半径，且恰为双曲线的左焦点，，又点是双曲线右支上的一点，则，所以，当且仅当、、三点共线（在之间）时取等号.故答案为：15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知点，圆：，若圆上存在点，使得，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先根据求出点的轨迹是一个圆，再根据该圆与已知圆有交点列不等式求出的取值范围.【详解】设，因为，所以，整理得，所以点在以为圆心，2为半径的圆上，所以圆与圆有公共点，所以，又，所以，解得，即的取值范围是.16.已知，，是椭圆上不同的三点，直线，直线交于点，直线交于点，记，的面积分别为，，若，则________．【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式及或得，再应用相交弦长公式列方程，即可求.【详解】由，即，则，由图知：当位置变化时，或，故，所以，而直线、斜率存在且不，故，，所以，即或，当，化简得.当时，，显