辽宁省部分学校2023-2024学年高三上学期1月期末联考数学答案

{#{QQABaYSEgggIAAIAABhCUQHICAMQkBECAKoOQBAMIAAAQQNABCA=}#}14−1MQxx+=−=6,xx=1当k2=时，取得最小值，此时12112，2DE221所以22.故答案为：.AB=+1416443k⋅(x12+x)−x12x=+⋅−=432四、17．（1）2(sinBC+=+sin)sin222B2sinBCCsin+=+sinsinA3sinBCsin即sin222BC+sin−sinABC=sinsin由正弦定理可得b222+c−a=bc--------------------------------------2分bca222+−1则cosA==22bcπ因为A∈(0,π),所以A=.------------------------------------------------------4分3（2）根据22ab+=c由正弦定理得2sinAB+=sin2sinCπ又sinBACACAC=+=sin()sincos+cossin,A=3331则2×+cosCCC+sin=2sin222⎛⎞π整理可得3sinCC−6=3cos,即3sinCC−3cos=23sin⎜⎟C−=6⎝⎠6⎛⎞π2所以sin⎜⎟C−=--------------------------------------------------6分⎝⎠62⎛⎞2ππππ⎛⎞ππππ因为CC∈−∈−⎜⎟0,,⎜,⎟,所以CC−=,=+⎝⎠3662⎝⎠6446⎛⎞ππ62+π则sinC=+=sin⎜⎟,BAC=π−−=----------------------------------------8分⎝⎠4644aba2由正弦定理得=即=得a=3ππ--------------------------------------9分sinABsinsinsin34116233++所以面积SabC==sin×××32=.-------------------------------------10分224418.【解析】（1）由2a=2n+S，得22(1)anS(2)n≥，两式相减得nnnn−−11=−+答案第2页，共7页{#{QQABaYSEgggIAAIAABhCUQHICAMQkBECAKoOQBAMIAAAQQNABCA=}#}2a−2a=2+a，即a=2a+2，-----------------------------------2分nn−1nnn−1所以a+2=2(a+2)，即b=2b(n2)，nn−1nn−1当n1时，2a2a，即a2，从而b4，=1=+11=1=所以{b}是以4为首项，2为公比的等比数列，n所以b42n−12n+1.------------------------4分n=⋅=（2）由（1）知a=2n+1−2，于是T=c+c+c+⋅⋅⋅+cn3012330=(log2b1+log2b2+a1)+(log2b4+log2b5+a2)+⋅⋅⋅+(log2b25+log2b26+a9)+(logb+logb+a)228229102311=(2+3+2−2)+(5+6+2−2)+⋅⋅⋅+(29+30+2−2)----------------------6分2311=(2+5+8+⋅⋅⋅+29)+(3+6+9+⋅⋅⋅+30)+(2+2+⋅⋅⋅+2−20)-----------------8分(2+29)×10(3+30)×104(1−210)=++−20.----------------10分221−2=++1551654092−20=4392-----------------12分或者T(25829)(36930)(222321120)30=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+−(2++++++34568⋅⋅⋅+30)−(4++710+⋅⋅⋅+28)+(223++2⋅⋅⋅+211−20)320+4092−20=439219．（Ⅰ）证明:因为∠ABC=°45,AB=22,BC=4222所以在ΔABC中由余弦定理得AC=+(22)4−×××2224cos458°=222解得AC=22，又由AB+=ACBC得AB⊥AC因为AB//CD所以CD⊥AC---------------2分因为PA⊥平面ABCDE,CD⊂平面ABCDE所以又因为所以平面PA⊥CD，PA∩AC=A，CD⊥PAC又因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC.---------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得AB,,ACAP两两互相垂直,分别以AB,,ACAP所在直线为xyz,,轴,建立如图所示答案第3页，共7页{#{QQABaYSEgggIAAIAABhCUQHICAMQkBECAKoOQBAMIAAAQQNABCA=}#}空间直角坐标系,设AP=t则AB(0,0,0,)(22,0,0),C(0,22,0),Pt(0,0,)因为AC//ED，CD⊥AC，所以四边形ACDB是直角梯形因为AE=2,∠ABC=°45,AE⁄⁄BC所以∠BAE=°135,∠CAE=°45,CD=AE⋅sin45°=2所以D(−2,22,0)----------------------------------------------------------------6分!!!!!!则CP=0,−22,t,CD=−2,0,0()()!设m=x,y,z是平面PCD的一个法向量()!!!!⎪⎧m⋅CP=0⎪⎧−22ty+=tz0则有⎨!!!!即⎨m⋅CD=0⎪−20x=⎩⎪⎩!⎛2⎞令z=1,得m=⎜0,t,1⎟----------------------------------------------------8分⎝4⎠!!!设θ是直线与平面所成的角,PB=22,0,−t()!!!!−t1则有sinθ=sin30°=cosPB,m==12t2+1⋅t2+88解得t=22--------------------------------------------------10分!!!!所以P0,0,22,m=(0,1,1),AP=0,0,22()()设点A到平面PCD的距离为h!!!!AP⋅m22h=!==2m2所以点A到平面PCD的距离为2.--------------------------------------------12分20.解：（1）因为ΔPF12F是直角三角形，且||1OP=，所以椭圆的半焦距c=1，-------2分c3xy22由=，得a=3，所以椭圆的标准方程为+=1．----------------4分a332xy22（2）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为ykx=+(1)，代入椭圆方程+=1，32答案第4页，共7页{#{QQABaYSEgggIAAIAABhCUQHICAMQkBECAKoOQBAMIAAAQQNABCA=}#}并化简得(3kxkxk2222+++2)63−6=0．6k236k2设，，则，−Bx()11，yDx()22，yxx12+=−xx12=32k2+32k2+43(k2+1)BD1k2xx(1k2)⎡(xx)24xx⎤；----------------6分=+1−2=+⎣2+2−12⎦=23k+21因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为−，k⎛⎞143+1⎜⎟k243(k2+1)所以，AC==⎝⎠．----------------7分123k232×++k2四边形ABCD的面积124(k21)2(k21)296+24+．S=BDAC=222=2(3k+2)(2k+3)⎡(3k2+2)+(2k2+3)⎤25⎢2⎥⎣⎦当k2=1时，上式取等号．----------------10分（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．96综上，四边形ABCD的面积的最小值为.----------------12分2521．解：(1)设每箱实际价格为X，则X可能取值为800元，900元.21所以PX(==900)，PX(==800)，-----------------------------------2分33122600,所以值得购买-----------------------------------4分EX()800=×+900×=>840333（2）设每箱实际价格为Y，则Y可能取值为800元，900元11设A=“废品率”，B=“废品率”C=“检验2件产品，恰好有一件废品”10521PPB(A)==,()33111122CC19,116CC28,PPA(AC)==()(PC|A)×2=PPBPCB(BC)==()(|)×2=315C103135C10答案第5页，共7页{#{QQABaYSEgggIAAIAABhCUQHICAMQkBECAKoOQBAMIAAAQQNABCA=}#}21634PPACBC(C)=+=+=()-----------------------------------6分15135135①16P()BC8P(BC|)===135PC()3417135-----------------------------------8分2P()AC9②因为P(AC|)===15，则Y的分布列为PC()3417135Y800900p891717--------------10分8914500EY()=800×+900×=>840171713所以此箱值得购买-----------------------------------12分!#!!!!22．（1）①由题意，得�!�=．-----------------------------------1分!#!!ππ（i）若��在−,上单调递减，则�!�≤0恒成立，!!即�−cos!�恒成立，所以�≤−1；-----------------------------------2分ππ（ii）若��在−,上单调递增，则�!�≥0恒成立，即�≥−cos!�恒成立，所以�≥0．!!综上，实数a的取值范围为−∞,−1∪0,+∞．-----------------------------------3分②假设��是“极致0函数”，则�=0是��的极值点，所以�!0=1+�=0，解得�=−1，-----------------------------------4分ππ由①可知，当�=−1时，��在−,上单调递减，与�=0是��的极值点矛盾，!!故��不是“极致0函数”．-----------------------------------5分（2）由题意，得�!�=1−�sin�+�cos�，则�!0=�0=0．ππ当�∈−,时，�!�=1−�tan�+�cos�，!!答案第6页，共7页{#{QQABaYSEgggIAAIAABhCUQHICAMQkBECAKoOQBAMIAAAQQNABCA=}#}ππ易知当�∈−,时，cos�>0．!!ππ设ℎ�=1−�����+�，�∈−,．!!ππ①当1−�≤−1，即�≥2时，由（i）可知，ℎ�在−,上单调递减，!!ππ又ℎ0=0，所以当�∈−,0时，ℎ�>0，即�!�>0；当�∈0,时，ℎ�<0，即�!�<0，!!所以��在�=0处取得极大值，此时��是“极致0函数”；-----------------------------------6分ππ②当1−�≥0，即�≤1时，由（ii）可知，ℎ�在−,上单调递增，!!ππ又ℎ0=0，所以当�∈−,0时，ℎ�<0，即�!�<0，当�∈0,时，ℎ�>0，即�!�>0，!!所以��在�=0处取得极小值，此时��是“极致0函数”；-----------------------------------7分!!!!!#!!③当1<�<2时，ℎ!�=，!#!!设��=1−�+cos!�，ππ易知��在−,0上单调递增，在0,上单调递减．!!ππ因为�0=2−�>0，�−=�=1−�<0，!!ππ所以存在�∈−,0，�∈0,，