湖北省部分重点中学2023-2024学年高三上学期第二次联考数学试题

湖北省部分重点中学2024届高三第二次联考高三数学试卷试卷满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（）A． B． C． D．2．已知复数z满足，则（）A．3 B． C．7 D．133．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A，B分别为圆柱上、下底面圆的圆心，P为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（）A． B．32π C． D．4．在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（）A． B．C． D．5．若，则（）A． B． C． D．6．设A，B为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（）A． B．C． D．7．已知对任意恒成立，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．8．斜率为的直线l经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于A，B两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．下列结论正确的是（）A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17B．若随机变量，满足，则C．若随机变量，且，则D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断X与Y有关）10．下列命题正确的是（）A．若、均为等比数列且公比相等，则也是等比数列B．若为等比数列，其前n项和为，则，，成等比数列C．若为等比数列，其前n项和为，则，，成等比数列D．若数列的前n项和为，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件11．已知，则下列关系中正确的是（）A． B． C． D．12．已知四棱锥，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为平面ABCD内一点，且，点N为平面PAB内一点，，下列说法正确的是（）A．存在入使得直线PB与AM所成角为B．不存在使得平面平面PBMC．若，则以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥各面的交线长为D．三棱锥外接球体积最小值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的系数为______．14．与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为______．15．已知函数，若，则实数a的取值范围为______．16．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则______；若，则的最大值为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本题满分10分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，BC边的中线长为2．（1）求角A；（2）求边a的最小值．18．（本题满分12分）已知等比数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．19．（本题满分12分）如图，在三棱柱中，底面是边长为6的等边三角形，，，D，E分别是线段AC，的中点，平面平面．（1）求证：平面BDE；（2）若点P为线段上的中点，求平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值．20．（本题满分12分）已知椭圆的左焦点为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过作一条斜率不为0的直线PQ交椭圆于P、Q两点，D为椭圆的左顶点，若直线DP、DQ与直线分别交于M、N两点，l与x轴的交点为R，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．21．（本题满分12分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为．（1）求的概率分布列并求；（2）求证：为等比数列，并求出．22．（本题满分12分）已知函数，．（1）当时，求证：；（2）函数有两个极值点，其中，求证：．湖北省部分重点中学2024届高三第二次联考高三数学试卷参考答案123456789101112ABCBADABCDBDABDBCD13．14．15．16．4；17．解：（1）因为，所以，，因为，，，所以，又，所以．（2）因为BC边的中线长为2，所以，所以，即，解得，当且仅当时取等号．所以，所以a的最小值为．18．（1）由题意知：当时，①当时，②联立①②，解得，．所以数列的通项公式．（2）由（1）知，所以．所以．设数列中存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．则，所以，即又因为m，k，p成等差数列，所以所以化简得所以又，所以与已知矛盾．所以在数列中不存在3项，，成等比数列．19．（1）证明：连接四边形是菱形，又D，E分别为AC，的中点，又为等边三角形，D为AC的中点平面平面，平面平面，平面ABC平面，又平面，又，，BD，平面BDE平面BDE（2），，为等边三角形D是AC的中点，由（1）得平面以D为原点，DB，DA，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，设平面PBD的一个法向量为，则，即取，则．所以是平面PBD的一个法向量由（1）得是平面BDE的一个法向量即平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值为20．解：（1）由题知，椭圆C的右焦点为，且过点，所以，所以．又，所以，所以C的标准方程为．（2）设直线PQ的方程为，由，得所以，，直线DP的方程为，令得，同理可得所以故为定值。21．解：（1）可能取0，1，2，3则；；；，分布列为：0123P（3）由题可知又22．解：（1），则令，则在上单调递减在上单调递增．，在上单调递增。，即时，成立。（2）有两个极值点，①要证成立，即证成立。令，，即证成立．①式可化为，则令，，在上单调递增，在上单调递减。，要使有两个零点，则当时，，直线与交于当时，由（1）知而与交于，则，成立。