河北省保定市2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题

2023—2024学年度第一学期高三期末调研考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔2B把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用格皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（）A. B. C. D.2.已知为虚数单位，且，则（）A.1 B. C. D.23.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.，，则 B.，，，，则C.，，，则 D.，，，则4.若是奇函数，则（）A.， B.，C.， D.，5.已知锐角的顶点在原点，始边在轴非负半轴，现将角的终边绕原点逆时针转后，交以原点为圆心的单位圆于点，则的值为（）A. B. C. D.6.已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量方向的投影向量为（）A. B. C. D.7.保定的府河发源于保定市西郊，止于白洋淀藻杂淀，全长26公里.府河作为保定城区主要的河网水系，是城区内主要的排沥河道.府河桥其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，是我市的标志性建筑之一，悬链线函数形式为，当其中参数时，该函数就是双曲余弦函数，类似地有双曲正弦函数.若设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.在椭圆（）中，，分别是左，右焦点，为椭圆上一点（非顶点），为内切圆圆心，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.从50个个体中随机抽取一个容量为20的样本，则每个个体被抽到的概率为0.4B.数据11，19，15，16，19众数是19，中位数是15C.数据0，1，5，6，7，11，12，这组数据的第70百分位数为7D.对于随机事件与，若，，则事件与独立10.先将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把图象向右平移个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数的图象，则关于函数，下列说法正确的是（）A.最小正周期为 B.在上单调递增C.时 D.其图象关于点对称11.已知曲线：，则以下说法正确的是（）A.若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则B.若曲线为焦点在轴上的椭圆，则其短轴长取值范围是C.曲线为椭圆时，离心率为D.若曲线为双曲线，则浙近线方程为12.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在四面体中，是直角三角形，为直角，点，分别是，的中点，且，，，，则（）A.平面B.四面体是鳖臑C.是四面体外接球球心D.过、、三点的平面截四面体的外接球，则截面的面积是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆：，过作圆的切线，则直线的倾斜角为______.14.保定某中学举行歌咏比赛，每班抽签选唱5首歌曲中的1首（歌曲可重复被抽取），则高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率为______.15.等差数列前13项和为91，正项等比数列满足，则______.16.已知不等式对任意的实数恒成立，则的最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）的内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若的角平分线交于点，，，求.18.（12分）在菱形中，，，，分别为，的中点，将菱形沿折起，使，为线段中点.（1）求大小；（2）求直线与平面所成角的大小.19.（12分）在正项数列中，，且.（1）求证：数列是常数列，并求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，求证：.20.（12分）已知抛物线：（）的焦点为，准线交轴于点，点，若的面积为1，过点作拋物线的两条切线切点分别为，.（1）求的值及直线的方程；（2）点是抛物线弧上一动点，点处的切线与，分别交于点，，证明：.21.（12分）杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素.本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情.某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束.规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物.假设平地记为第0步台阶.记队员到达第步台阶的概率为（），记.（1）投掷4次后，队员站在的台阶数为第阶，求的分布列；（2）（ⅰ）求证：数列（）是等比数列；（ⅱ）求队员赢得吉祥物的概率.22.（12分）已知函数.（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若有两个极值点分别为，（），当时，证明：.高三期末调研数学试题参考答案一、选择题12345678BDDADCAB二、选择题9101112ACDABABDABD三、填空题13.（或写为150°）14.15.1316.四、解答题17.【解】（1）由及正弦定理，可得.因为，所以.又，所以，则，又，所以.（2）∵为的平分线，，设点到和的距离为，则，即，∴，又∵，∴，则有，∴或（舍去），所以.（2）方法2：∵为的平分线，，由内角平分线性质定理，，又∵由余弦定理，∴，又∵，∴，又∵，∴在中，，∴.18.【解】（1）方法1：由已知得三棱锥为正四面体，棱长为，又∵，，分别为，，中点∴又∵，∴∵，∴，∴方法2：取中点，连接∵，，∴平面，∴又∵，∴，∴方法3：∵为中点，∴，，∴平面，∴平面平面，平面平面，∴过作，则平面，以为坐标原点，所在直线为轴，过作垂线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.，，，，，∴，∴（2）∵为中点，∴，，∴平面，∴平面平面，平面平面，∴过作，则平面，以为坐标原点，所在直线为轴，过作垂线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.，，，，设平面法向量为得令，则，，∴，∴∴与平面所成角为45°19.【解】（1）方法1：，，相除得，即所以，即，所以，所以结合，所以，即数列是常数列所以，所以（1）方法2：∵，两边取对数得，①∴②①－②得.，即，∴.所以，即数列是常数列，所以，所以（2）又因为単调递增，所以，即20.【解】（1），所以即拋物线方程为：，方法1：：，，设切点，切线斜率为切线方程为，此切线过解得，或，得两切点坐标，.所以直线方程为方法2：设，，在拋物线上，所以，，切线方程分别为：又因为两切线相交于，即，均在直线上，即.（2）方法1：设切点，（）可得过点切线为：化简得由第一问方法知，点，可得直线方程为联立解得点横坐标同理由，坐标可得直线方程，可得点横坐标，结论得证方法2：相减：，过的切线，交得，同理，，所以21.【解】（1）解：由题意得每轮游戏爬一步台阶的概率为，爬两步台阶的概率为所以随机变量可能取值为4，5，6，7，8可得，，所以的分布列：45678（2）解：（ⅰ）证明：，即爬一步台阶，是第1次掷骰子，向上点数不是3的倍数概率，则到达第步台阶有两种情况：①前一轮爬到第步台阶，又掷骰子是3的倍数得爬两步台阶，其概率为②前一轮爬到第步台阶，又掷骰子不是3的倍数爬一步台阶，其概率为所以（）所以（）所以数列（）是首项为，公比为的等比数列.（此题也可用概率知识分别求出，，……，具体值，再一一验证也可.）（ⅱ）因为数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，，…，各式相加，得：所以（）所以活动参与者得到纪念品的概率为.22.【解】得（），即（）设（），则，当时，，单调递减，当时，，单调递增所以，所以，此时，在上单调递增故的取值范围是.（2）因为有两个极值点，，即方程有两个不同的实数根，则，，令（），即联立得解得，要证即证即即（*）令，求导化简可得由，可知，即，所以函数在上递增.得到，即（*）式成立，所以原不等式成立.公众号：高中试卷君