2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题及答案

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为A.14B.16C.18D.20B将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16.故选：B.2x212.椭圆+y=1(a>1)的离心率为，则a=a2223A.B.2C.3D.23Aa2-1123由题意得e==，解得a=，a23故选：A.3.记等差数列an的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17，则S16=A.120B.140C.160D.180C因为a3+a7=2a5=6，所以a5=3，所以a5+a12=3+17=20，a+a×16所以S=116=8a+a=160，162512故选：C.4.设α,β是两个平面，m,l是两条直线，则下列命题为真命题的是A.若α⊥β,m∥α,l∥β，则m⊥lB.若m⊂α,l⊂β,m∥l，则α∥βC.若α∩β=m,l∥α,l∥β，则m∥lD.若m⊥α,l⊥β,m∥l，则α⊥βC对于A，m,l可能平行，相交或异面，故A错误，对于B，α,β可能相交或平行，故B错误，高三数学第1页（共12页）对于D，α,β可能相交或平行，故D错误，由线面平行性质得C正确，故选：C5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有A.20种B.16种C.12种D.8种B因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，212排乙丙有A2种方法，排甲有A2种方法，剩余两个位置两人全排列有A2种排法，212所以有A2×A2×A2=8种方法；②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，212排乙丙有A2种方法，排甲有A2种方法，剩余两个位置两人全排列有A2种排法，212所以有A2×A2×A2=8种方法；由分类加法计数原理可知，一共有8+8=16种排法，故选：B.6.已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点，点P满足QP=1,-3，记P的轨迹为E，则A.E是一个半径为5的圆B.E是一条与l相交的直线C.E上的点到l的距离均为5D.E是两条平行直线C设Px,y，由QP=1,-3，则Qx-1,y+3，由Q在直线l:x+2y+1=0上，故x-1+2y+3+1=0，化简得x+2y+6=0，即P轨迹为E为直线且与直线l平行，6-1E上的点到l的距离d==5，故A、B、D错误，C正确.12+22故选：C.3ππ1+sin2θ7.已知θ∈,π,tan2θ=-4tanθ+，则=442cos2θ+sin2θ133A.B.C.1D.442A3ππ由题θ∈,π,tan2θ=-4tanθ+，442tanθ-4tanθ+12得=⇒-4tanθ+1=2tanθ，1-tan2θ1-tanθ1则2tanθ+1tanθ+2=0⇒tanθ=-2或tanθ=-，23π1因为θ∈,π,tanθ∈-1,0，所以tanθ=-，421+sin2θsin2θ+cos2θ+2sinθcosθtan2θ+1+2tanθ==2cos2θ+sin2θ2cos2θ+2sinθcosθ2+2tanθ高三数学第2页（共12页）1+1-141==.2+-14故选：Ax2y28.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F，过坐标原点的直线与C交a2b2122于A,B两点，F1B=2F1A,F2A⋅F2B=4a，则C的离心率为A.2B.2C.5D.7D由双曲线的对称性可知F1A=F2B，F1B=F2A，有四边形AF1BF2为平行四边形，令F1A=F2B=m，则F1B=F2A=2m，由双曲线定义可知F2A-F1A=2a，故有2m-m=2a，即m=2a，即F1A=F2B=m=2a，F1B=F2A=4a，2F2A⋅F2B=F2A⋅F2Bcos∠AF2B=2a×4acos∠AF2B=4a，1π2π则cos∠AFB=，即∠AFB=，故∠FBF=，2223213222222F1B+F2B-F1F24a+2a-2c1则有cos∠F2BF1===-，2F1B⋅F2B2×4a×2a222220a-4c1204e12即=-，即-=-，则e=7，由e>1，故e=7.16a2216162故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．3π3π9.已知函数fx=sin2x++cos2x+，则44πA.函数fx-为偶函数B.曲线y=fx对称轴为x=kπ,k∈Z4ππC.fx在区间,单调递增D.fx的最小值为-232AC3π3πfx=sin2x++cos2x+443π3π3π3π=sin2xcos+sincos2x+cos2xcos-sin2xsin44442222=-sin2x+cos2x-cos2x-sin2x=-2sin2x，2222即fx=-2sin2x，高三数学第3页（共12页）ππ对于A，fx-=-2sin2x-=2cos2x，易知为偶函数，所以A正确；42ππkπ对于B，fx=-2sin2x对称轴为2x=+kπ,k∈Z⇒x=+,k∈Z，故B错误；242ππ2π对于C，x∈,,2x∈,π，y=sin2x单调递减，则323fx=-2sin2x单调递增，故C正确；对于D，fx=-2sin2x，则sin2x∈-1,1，所以fx∈-2,2，故D错误；故选：AC10.已知复数z,w均不为0，则222zzzzA.z=|z|B.=2C.z-w=z-wD.=z|z|wwBCD设z=a+bia,b∈R、w=c+dic,d∈R；222222对A：设z=a+bia,b∈R，则z=a+bi=a+2abi-b=a-b+2abi，2|z|2=a2+b2=a2+b2，故A错误；22zz2zz对B：=，又z⋅z=z，即有=2，故B正确；zz⋅zz|z|对C：z-w=a+bi-c-di=a-c+b-di，则z-w=a-c-b-di，z=a-bi，w=c-di，则z-w=a-bi-c+di=a-c-b-di，即有z-w=z-w，故C正确；za+bia+bic-diac+bd-ad-bci对D：===wc+dic+dic-dic2+d2ac+bd2ad-bc2a2c2+2abcd+b2d2+a2d2-2abcd+b2c2=22+22=222c+dc+dc+da2c2+b2d2+a2d2+b2c2a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=222=，c+dc2+d22222za2+b2a2+b2×c2+d2a+bc+d===wc2+d2c2+d2c2+d2a2c2+b2c2+a2d2+b2d2=，c2+d2高三数学第4页（共12页）zz故=，故D正确.ww故选：BCD.111.已知函数fx的定义域为R，且f≠0，若fx+y+fxfy=4xy，则211A.f-=0B.f=-22211C.函数fx-是偶函数D.函数fx+是减函数22ABD1111令x=、y=0，则有f+f×f0=f1+f0=0，22221又f≠0，故1+f0=0，即f0=-1，211111111令x=、y=-，则有f-+ff-=4××-，222222221111即f0+ff-=-1，由f0=-1，可得ff-=0，222211又f≠0，故f-=0，故A正确；221111令y=-，则有fx-+fxf-=4x×-，222211即fx-=-2x，故函数fx-是奇函数，2211有fx+1-=-2x+1=-2x-2，即fx+=-2x-2，221即函数fx+是减函数，21令x=1，有f=-2×1=-2，2故B正确、C错误、D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合A=-2,0,2,4,B=xx-3≤m，若A∩B=A，则m的最小值为．5高三数学第5页（共12页）由A∩B=A，故A⊆B，由x-3≤m，得-m+3≤x≤m+3，4≤m+3m≥1故有，即，即m≥5，-2≥-m+3m≥5即m的最小值为5.故答案为：5.13.已知轴截面为正三角形的圆锥MM的高与球O的直径相等，则圆锥MM的体积与球O的体积的比值是，圆锥MM的表面积与球O的表面积的比值是．2①.②.13设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h=3r，母线l=2r，3由题可知：h=2R，所以球的半径R=r21233所以圆锥的体积为V=×π×r×3r=πr，1333434333球的体积V=πR=π×r=πr，233223πr3V132所以==；V323πr3222圆锥的表面积S1=πrl+πr=3πr，2232球的表面积S=4πR=4π×r=3πr，222S13πr所以=2=1，S23πr2故答案为：；1.314.以maxM表示数集M中最大的数．设00，b=1-n-p所以，a=1-m-n-p若b≥2a，则b=1-n-p≥21-m-n-p，故2m+n+p≥1，令M=maxb-a,c-b,1-c=maxm,n,p，高三数学第6页（共12页）2M≥2m1因此M≥n,故4M≥2m+n+p≥1,则M≥，4M≥p若a+b≤1，则1-n-p+1-m-n-p≤1，即m+2n+2p≥1，M=maxb-a,c-b,1-c=maxm,n,p，M≥m1则2M≥2n,故5M≥m+2n+2p≥1,则M≥，52M≥2p当m=2n=2p时，等号成立，1综上可知maxb-a,c-b,1-c的最小值为，51故答案：5四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(13分)2已知函数fx=lnx+x+ax+2在点2,f2处的切线与直线2x+3y=0垂直．(1)求a；(2)求fx单调区间和极值．【小问1详解】119fx=+2x+a，则f2=+2×2+a=+a，x2292由题意可得+a×-=-1，解得a=-3；23【小问2详解】2由a=-3，故fx=lnx+x-3x+2，12x2-3x+12x-1x-1则fx=+2x-3==，x>0，xxx11故当00，当1时，fx>0，2211故fx的单调递增区间为0,、1,+∞，fx的单调递减区间为,1，22111213故fx有极大值f=ln+-3×+2=-ln2，22