山西省2024届高三上学期优生联考数学试题（原卷版）

2023～2024学年第一学期优生联考高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B. C. D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.3.第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，时值中秋和国庆假期，某班同学利用假期在家通过网络直播观看比赛.已知该班有30名学生喜欢看排球比赛，40名同学喜欢看篮球比赛，50名同学喜欢看排球比赛或篮球比赛，若从喜欢看排球比赛的同学中抽取1人，则此同学喜欢看篮球比赛的概率为（）A. B. C. D.4.已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.5.已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（）．A.13 B.12 C.10 D.86.已知、是两个平面，直线，，若以①；②；③中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（）A.①③②；①②③ B.①③②；②③①C.①②③；②③① D.①③②；①②③；②③①7.已知函数的图象与的图象关于轴对称，若将的图象向左至少平移个单位长度后可得到的图象，则（）A.的图象关于原点对称B.C.在上单调递增D.的图象关于点对称8.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续.设初始正方形的边长为，依次构造出的小正方形（含初始正方形）的边长构成数列，若的前n项和为，令，其中表示x，y中的较大值.若恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列代数式的值为的是（）A. B.C. D.10.已知，且，则（）A. B.C. D.11.已知定义在上的函数满足，且为奇函数，当时，，则（）A.是周期为的周期函数 B.C.当时， D.12.在长方体中，，E是棱的中点，过点B，E，的平面交棱于点F，P为线段上一动点（不含端点），则（）A.三棱锥的体积为定值B.存点P，使得C.直线与平面所成角的正切值的最大值为D.三棱锥外接球表面积的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则_______．14.已知函数，若直线与曲线相切，则________________.15.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光源点射出的两条光线与分别相切于点、，称两射线、上切点上方部分的射线与优弧上方所夹的平面区域(含边界)为圆的“背面”.若以点为圆心，为半径的圆处于的“背面”，则的最大值为__________.16.已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，，，延长交的右支于点，点为双曲线上任意一点（异于两点），则直线与的斜率之积__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在等差数列中，，，数列的前项和为，且.（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列前n项和.18.已知中，角所对边分别为.（1）求；（2）设是边上的点，且满足，求内切圆的半径.19.2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望．参考数据：，．若，则．20.如图，在三棱柱中，侧面的面积为4，且四棱锥的体积为.（1）求点到平面的距离;（2）若平面平面，侧面是正方形，为的中点，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21.设，分别是椭圆的左、右焦点，，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）作直线与椭圆交于不同的两点，，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值.22.已知函数且.（1）讨论的单调性；（2）若，求证：，.