天津市八校联考2023-2024学年高三上学期期末质量调查数学试卷

2024年天津市八所重点学校高三毕业班联考数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.考试结束后，上交答题卡.第Ⅰ卷(选择题,共45分)一.选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上.1、已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={3,5},B={1,2,5},则B∩CᵤA=A.{2}B.{1,2}C.{2,4}D.{1,2,4}2、若xy≠0,则“x²=y²”是“yx+xy=−2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、已知a=ln52,b=log031.5,c=25−0s,则()A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a4、函数f(x)的部分图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为()A.fx=sinxex+e−xD.fx=ex+e−x−sinx−14C.fx=ex+e−xsinxD.fx=ex+e−x+sinx−145、已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为3：1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.03和0.01，则t辆汽车中途停车修理的概率为()A.1B.150C.140D.1306、已知a=11,b=m−1,m为实数，若a⊥a−b,则向量a在b上的投影向量为()A.1535B.−1535C.3515D.35−157、清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成(如图1)，也可由正方体切割而成(如图2).在“蒺藜形多面体”中，若正四面体的棱长为2，则该几何体的体积为()A.2B.2C.22D.48、已知过原点O的直线l与双曲线Z:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A，B两点(点A在第一象限),F₁,F₂分别为双曲线E的左、右焦点,延长AF₂交E于点C,若|BF2|=|AC|,∠F1BF2=π3,则双曲线E的渐近线方程为()A.y=±2xx=±2yC.y=±3xD.x=±3y9、已知函数fx=Asinωx+φ(ω>0,A>0,|φ|<π2的对称中心到对称轴的最小距离为π4,将f(x)的图象向右平移π3个单位长度后所得图象关于y轴对称，且|fx₁−fx₂|max=1,关于函数f(x)有下列四种说法：=1\*GB3①x=π6是f(x)的一个对称轴：=2\∗GB3②−π30是f(x)的一个对称中心；③f(x)在0π2上单调递增：④若fx₁=fx₂=0,则x1−x2=kπ2k∈Z.以上四个说法中，正确的个数为()A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷(非选择题,共105分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将正确的答案填写到答题纸上.10.若复数z满足z=1+3i1−i(其中i是虚数单位)，则z的虚部为.11.在x−2x5的展开式中，x³项的系数为.(用数字填写答案)12.已知直线x−my+2=0与⊙C:x²+y²=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为3”的实数m的个值(写出其中个即可)13.学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益.为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮.某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表：天数x1234567一次最多答对题数y12151618212427参考数据：x=4,y=19,∑i=17xi2=140,∑i=17yi2=2695,∑i=17xiyi=600,6≈2.45,相关系数r=∑i=1nxi−xyi−y∑i=1nxi−x2,∑i=1nxi−y)2=∑i=1nxiyi−nxy∑i=1nxi2−nx−2∙1∑i=1nyi2−ny−2∙由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是相关(填“正”或“负”)，其相关系数r≈(结果保留两位小数)14.已知点A为抛物线y²=2x上一点(点A在第一象限)，点F为抛物线的焦点，准线为l，线段AF的中垂线交准线l于点D，交x轴于点E(D、E在AF的两侧)，四边形ADFE为菱形，若点P、Q分别在边DA、EA上,DP=λDA,EQ=μEA,若2λ+μ=52,则FP⋅FQ的最小值为,|tFA−14FE|+|tFA−FE|t∈R的最小值为.15.函数fx=lnx+2,x>−2x+22+a+3x+2+3a,x≤−2,函数gx=a|x−2|,若函数ℎx=fx−2−gx+2−2恰有2个零点，则实数a的取值范围是.三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c−2b+2acosC=0.(1)求角A的大小;(2)若a=3,c=62,(i)求sin(2C+A)的值;(ii)求△ABC的面积.17.(本小题满分15分)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知.AB‖CD,AD⊥CD,AB=AD=12CD=1.点P为线段EC的中点.(1)求证:BF∥平面CDE;(2)求直线DP与平面BDF所成角的正弦值；(3)求平面BDF与平面CDE夹角的余弦值.18.(本小题满分15分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点，点A为左顶点，椭圆上的点到左焦点距离的最小值是焦距的14.(1)求椭圆C的离心率；(2)直线l过椭圆C的右焦点F₂，与椭圆C交于P，O两点(点P在第一象限).且△APQ面积的最大值为253,(i)求椭圆C的方程;(ii)若直线AP,AQ分别与直线x=34交于M,N两点,求证：以MN为直径的圆恒过右焦点F₂.19.(本小题满分15分)已知数列{an}是正项等比数列，{bₙ}是等差数列，且a₁=2b₁=2,a₂=b₄,a₅=4a₃,(1)求数列{an}和{bₙ}的通项公式;(2)[x]表示不超过x的最大整数，T₄ₙ表示数列−1[n2]⋅bn2的前4n项和，集合A=n|λ≤T4n⋅bn+2an+2n∈N∗共有4个元素，求λ范围；(3)cn=4ba−1−bnan+2bn2+2bn,n为奇数an∙bn，n为偶数，数列{cₙ}的前2n项和为S₂ₙ,求证：S2n<2518+2n3−294n+1.20.(本小题满分16分)已知函数fx=ex−xex−aln1x(e是自然对数的底数).(1)当a=11时,求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当a>e时,(i)求证：函数f(x)存在唯一的极值点x₁;