数学-湖南省金太阳2023-2024学年高三上学期1月统一考试

#$#%届高三统一考试试题数学参考答案!!&!解析本题考查集合的交集#考查数学运算的核心素养!因为##$!所以#'$###$$'$#$$!所以$%#'%$!!&!#!(!解析本题考查三角函数的周期#考查数学运算的核心素养!%')*+%!,#'!%'+-.#的最小正周期均为!!但在%$!!'上不单调递减!%'/0.%!,'的最小正周期为!!且在%$!!'上单调递减!%',+-.的最小正周期为%!!#1!&!解析本题考查排列组合的实际应用#考查应用意识与逻辑推理的核心素养!因为第一站不去株洲!所以第一站可以从长沙(衡阳(郴州(益阳这%个城市中选择!个!共有1%种选择!所以该旅游团四站的城市安排共有%&%'23种!%!4!解析本题考查复数方程的求解与复数的模#考查数学运算的核心素养!由&15&5!'$!得&#%&5!'5&5!'%!'%&5!''$!因为-#',!!所以&'6-或,!!所以$&!,&#$的值为槡#或#!7!4!解析本题考查对数运算的实际应用#考查应用意识与逻辑推理的核心素养!(#(#!当'#'1!'!'$87时!1,$87',#879:!则'!则(!'!$(#!所以$87等星的亮度(!(!!$是1等星亮度的!$倍!3!&!解析本题考查抛物线的定义的应用#考查直观想象与逻辑推理的核心素养!因为)的准线方程为%'!!所以$$*$'!,%,%''7!+5!'$#*$!因为*%$!,!'!所以$$*$5$#,$5+'75$#,$5$#*$,!&%5$,*$'%5槡%1,$'#5%15!'#'2!当且仅当#在线段,*上时!等号成立!所以$$*$5$#,$5+的最小值为2!!;!解析本题考查导数的几何意义#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!由-%''.%'!得1,#5#5%'$!设/%''1,#5#5%!则/0%''1#,#5##$%!'%,#%'$'!所以/%'为增函数!因为/%,!''$!所以$%,!!1'!-0%''1#!则-0%,!''1!所以曲线%'-%'在点$处的切线方程为%,1'1%5!'!令!'$!得%'3!令%'$!得',#!则所求三角形的面积为<3<#'3!#=!;!解析本题考查正棱台的体积与二面角#考查空间想象能力与运算求解能力!如图!取$#的中点1!取$!#!的中点1!!连接11!!,!1!!,1!则11!($!#!!,!1!($!#!!所以二面角$2$!#!2,!的平面角为)11!,!!则)11!,!'3$>!设上底面与下底面的中心分别为!!高三数学参考答案第!页#共页$!%{#{QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgAAMsAAASANABAA=}#}书槡1!槡1槡1!#槡1(!(!!连接((!!则1('#<<'!1!(!'%<<'!过点1作13(,!1!!#11#11131313垂足为3!则)11!3'3$>!则'''/0.3$>'槡1!则13'!!故该三棱1!3#槡1槡1槡1,111!槡1#槡1#槡1槡1台的体积为!$8'!………………………………………………………………=分所以1%=''><$8<%!,$8''$8#!>!………………………………………………2分因为1%=''%#!所以>'#$$!又>为正整数!所以>的最大值为!22!……………!$分#,$,!=!%!'证明.在1$#,中!'!…………………………………………!分+-.)#$,+-.)$#,,1$,在1$1,中!'!……………………………………………………#分+-.)1$,+-.)$1,因为$,平分)#$1!所以)#$,')1$,!……………………………………………1分又#,',1!所以+-.)$#,'+-.)$1,!………………………………………………%分所以)$#,与)$1,相等或互补!………………………………………………………7分%#'解.因为$#,$1!所以)$#,与)$1,互补!……………………………………3分在1$#,中!$,#'$##5#,#,#$###,#)*+)$#,'!1,!#)*+)$#,!………分在1$1,中!$,#',1#51$#,#,1#1$#)*+)$1,'7,%)*+)$1,!…………=分所以!1,!#)*+)$#,'7,%)*+)$1,!又)*+)$#,',)*+)$1,!!所以)*+)$#,'!………………………………………………………………………2分#则$,'槡!1,!#)*+)$#,'槡!………………………………………………………!$分!1槡1所以1$#,的面积?'$###,+-.)$#,'!…………………………………!!分###?1槡17槡1,槡#!故1$#,内切圆的半径@'''!…………………!#分$#5#,5$,75槡395!9,!!2!证明.%!'因为#%495!,49,!''9,!!所以495!,49'5!!……………………!分#95!!!高三数学参考答案第%页#共页$!%{#{QQABAQIAggAIABBAAQhCUwH6CgGQkACACAoOgAAMsAAASANABAA=}#}95!995!99,!95!,#9所以495!5,%495''495!,495,'5!5'!!………1分#95!#9#95!#9#95!#95!9所以495$是公差为!的等差数列!……………………………………………………%分#9!!99%#'因为4!'!所以4!5'!!由%!'知495'9!则49'9,!…………………7分###9#9!#9设A9'55-5!####9!!#9则A9'55-5!………………………………………………………………3分####1#95!!!)!,%'9&!!!!!9##995#所以A9,A9'555-5,','!,!……2分#####1#9#95!!#95!#95!!,#95#则A9'#,!…………………………………………………………………………!$分#99%95!'9%95!'95#所以?9',A9',%#,'…………………………………………!!分###99#59,%95#9#59,%'5#!………………………………………………………