西安中学2023-2024学年度第一学期期末考试高三数学(文科)答案

西安中学高2024届高三模拟考试(一)数学学科（文科）答案单选题题号123456789101112选项DCABBDCCBCAB二、填空题13.；14.；15.196；16.．三、解答题17.解：（1）由得由正弦定理得：又即又且由余弦定理得即解得所以周长为18.解：(1)根据表格数据可知抽取的女生共40人，喜欢观看足球比赛的女生为40×14=10人，可得得2×2列联表如下：男女合计喜爱看足球比赛501060不喜爱看足球比赛103040合计6040100根据列联表中的数据计算得χ2=100×(50×30−10×10)260×40×60×40=122536≈34.028>10.828所以有99.999%的把握认为喜爱观看足球比赛与性别有关联．(2)按照分层随机抽样的方式抽取8人，根据抽样比可知其中男生2人，女生6人，记男生为a,b,女生为1,2,3,4,5,6，从8人中抽2人，所以可能结果如下：（a,b）,（a,1）,（a,2）,（a,3）,（a,4）,（a,5）,（a,6）,（b,1）,（b,2）,（b,3）,（b,4）,（b,5）,（b,6）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）共28种结果，设事件A表示“抽到男生人数为1人”，共12种结果，故19.（1）又所以因为，为中点，所以，所以平面，所以平面平面.（2）因为平面，平面平面，所以.因为为的中点，所以，.由（1）知，平面，所以平面.[来源:Z,xx,k.Com]所以三棱锥的体积.20.解：（1），得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以的极小值为，无极大值；（2）对任意即，设，，①当时，单调递增，单调递增，，成立；②当时，令单调递增，单调递增，，成立；③当时，当时，单调递减，单调递减，，不成立.综上，.21.(1)解：由题意，得ca=2,2b=23,c2=a2+b2,解得a=1,b=3c=2,，所以双曲线C的方程为x2−y23=1．(2)证明：设直线PQ的方程为x=my+2．将其与双曲线的方程联立x2−y23=1,x=my+2,消去x得(my+2)2−y23=1，整理得(3m2−1)y2+12my+9=0(∗)，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则y1，y2是方程(∗)的两根，则y1+y2=−12m3m2−1，y1y2=93m2−1．因为直线AP的方程为y=y1x1+1(x+1)，直线BQ的方程为y=y2x2−1(x−1)，联立方程组y=y1x1+1(x+1),y=y2x2−1(x−1),得xT+1xT−1=y2(x1+1)y1(x2−1)=y2(my1+3)y1(my2+1)=my1y2+3y2my1y2+y1=my1y2+3(y1+y2)−3y1my1y2+y1=m⋅93m2−1+3⋅−12m3m2−1−3y1m⋅93m2−1+y1=−3，由此解得xT=12，故点T在定直线x=12上. 22.（1）由曲线的参数方程可知曲线是以为圆心，半径为1的圆，可得曲线的普通方程；由曲线的极坐标方程可知曲线是以为圆心，半径为1的圆，可得曲线的普通方程．（2）当最小时，A，B在两圆圆心的连线上，此时的值为两圆圆心距减去两圆半径，即．由（1）可知：直线AB的直角坐标方程为，即，因为点P的直角坐标为，点P到直线AB的距离为，所以的面积．23.（1）因为是正实数，，，当且仅当时取等号，由，得，所以当时，取得最小值18.（2）因为是正实数，，则，即，当且仅当时取等号，又，因此当时，，所以成立.