2024年度高三寒假新结构适应性测试模拟试卷（三）数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x>0}，则A∪B＝( )A．(0，2] B．[－2，0)C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)答案 D解析 由题意A＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x>0}，所以A∪B＝{x|－2≤x≤2}∪{x|x>0}＝{x|x≥－2}＝[－2，＋∞)．故选D.2．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于x轴对称，且z1＝2－i，则复数eq\f(z1,z2)＝( )A．－eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i B．eq\f(3,5)－eq\f(4,5)iC．－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i D．eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i答案 B解析 复数z1＝2－i在复平面内对应的点为Z1(2，－1)，所以复数z2在复平面内对应的点为Z2(2，1)，即z2＝2＋i，则eq\f(z1,z2)＝eq\f(2－i,2＋i)＝eq\f(（2－i）2,（2＋i）（2－i）)＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i.故选B.3．某学校共1000人参加数学测验，考试成绩ξ近似服从正态分布N(100，σ2)，若P(80≤ξ≤100)＝0.45，则估计成绩在120分以上的学生人数为( )A．25 B．50C．75 D．100答案 B解析 由已知可得μ＝100，所以P(ξ≥100)＝0.5，又P(80≤ξ≤100)＝0.45，则P(100≤ξ≤120)＝0.45，所以P(ξ>120)＝P(ξ≥100)－P(100≤ξ≤120)＝0.5－0.45＝0.05，即可估计成绩在120分以上的学生人数为1000×0.05＝50.故选B.4．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))＋cosωx(ω>0)，f(x1)＝0，f(x2)＝eq\r(3)，且|x1－x2|的最小值为π，则ω的值为( )A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,2)C．1 D．2答案 B解析 f(x)＝eq\f(\r(3),2)sinωx＋eq\f(3,2)cosωx＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))，eq\r(3)是函数的最大值，由题意可知，|x1－x2|的最小值是eq\f(1,4)个周期，所以eq\f(1,4)×eq\f(2π,ω)＝π，得ω＝eq\f(1,2).故选B.5．用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着相同颜色．在所有着色方案中，①③⑤着相同颜色的有( )A．96种 B.48种C．24种 D.12种答案 C解析 因为①③⑤着相同的颜色，可以有Ceq\o\al(1,3)＝3种，②④⑥按要求可随意着与①③⑤不同色的另外两种颜色，故有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝8种，所以共有24种．故选C.6．已知奇函数f(x)在R上是减函数，g(x)＝xf(x)，若a＝g(－log25.1)，b＝g(3)，c＝g(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )A．a0时，f(x)<0，又g(x)＝xf(x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，故g(x)为偶函数．当x>0时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，又f(x)<0，f′(x)<0，所以g′(x)<0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递减，a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，因为3＝log28>log25.1>log24＝2>20.8，所以g(3)0，b>0)，其一条渐近线方程为x＋eq\r(3)y＝0，右顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，点P在其右支上，点B(3，1)，△F1AB的面积为1＋eq\f(\r(3),2)，则当|PF1|－|PB|取得最大值时点P的坐标为( )A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(\r(6),2)，1－\f(\r(6),2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(\r(6),2)，1＋\f(\r(6),2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(\r(3),2)，1＋\f(\r(3),10)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6＋5\r(78),22)，\f(10＋\r(78),22)))答案 B解析 设F1(－c，0)，F2(c，0)，则eq\f(1,2)(a＋c)×1＝1＋eq\f(\r(3),2)，即a＋c＝2＋eq\r(3)，又eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，即a＝eq\r(3)b，故c2＝a2＋b2＝4b2，c＝2b，故eq\r(3)b＋2b＝2＋eq\r(3)，解得b＝1，故a＝eq\r(3)，c＝2，双曲线C：eq\f(x2,3)－y2＝1.又|PF1|－|PB|＝2eq\r(3)＋|PF2|－|PB|≤2eq\r(3)＋|BF2|，当且仅当P，B，F2共线且B在P，F2之间时取得等号．此时直线BF2的方程为y＝eq\f(1,3－2)(x－2)，即y＝x－2，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)－y2＝1，,y＝x－2，))得2x2－12x＋15＝0，解得x＝3±eq\f(\r(6),2)，由题意可得x＝3＋eq\f(\r(6),2)，代入y＝x－2得y＝1＋eq\f(\r(6),2)，故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(\r(6),2)，1＋\f(\r(6),2))).故选B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若过点(a，b)可作曲线y＝x2－2x的两条切线，则点(a，b)可以是( )A．(0，0) B．(3，0)C．(1，1) D．(4，3)答案 BD解析 设切点坐标为(t，t2－2t)，对函数y＝x2－2x求导，可得y′＝2x－2，所以切线斜率为k＝2t－2，所以曲线y＝x2－2x在点(t，t2－2t)处的切线方程为y－(t2－2t)＝(2t－2)(x－t)，即y＝(2t－2)x－t2，将点(a，b)的坐标代入切线方程可得b＝(2t－2)a－t2，即t2－2at＋2a＋b＝0.因为过点(a，b)可作曲线y＝x2－2x的两条切线，则关于t的方程t2－2at＋2a＋b＝0有两个不等的实数解，所以Δ＝4a2－4(2a＋b)>0，即a2－2a－b>0，即b12－2×1，C不符合题意；对于点(4，3)，3<42－2×4，D符合题意．故选BD.10．对于一个事件E，用n(E)表示事件E中样本点的个数．在一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D中，n(Ω)＝100，n(A)＝60，n(B)＝40，n(C)＝20，n(D)＝10，n(A∪B)＝100，n(A∩C)＝12，n(A∪D)＝70，则( )A．A与D不互斥 B.A与B互为对立C．A与C相互独立 D.B与C相互独立答案 BCD解析 对于A，∵n(A)＝60，n(D)＝10，n(A∪D)＝70，∴n(A∪D)＝n(A)＋n(D)，∴A与D互斥，故A错误；对于B，∵n(A∪B)＝n(A)＋n(B)＝n(Ω)，∴A与B互为对立，故B正确；对于C，∵P(A)＝eq\f(n（A）,n（Ω）)＝eq\f(3,5)，P(C)＝eq\f(n（C）,n（Ω）)＝eq\f(1,5)，P(A∩C)＝eq\f(n（A∩C）,n（Ω）)＝eq\f(3,25)，∴P(A∩C)＝P(A)P(C)＝eq\f(3,25)，∴A与C相互独立，故C正确；对于D，∵n(Ω)＝100，n(A)＝60，n(B)＝40，n(C)＝20，n(A∪B)＝100，n(A∩C)＝12，∴n(B∩C)＝8，∴P(B∩C)＝eq\f(n（B∩C）,n（Ω）)＝eq\f(2,25)，又P(B)＝eq\f(n（B）,n（Ω）)＝eq\f(2,5)，P(C)＝eq\f(n（C）,n（Ω）)＝eq\f(1,5)，∴P(B∩C)＝P(B)P(C)＝eq\f(2,25)，∴B与C相互独立，故D正确．故选BCD.11．折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1)．图2是一个圆台(上底面面积小于下底面面积)的侧面展开图(扇形的一部分)，若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且∠ABC＝120°，则该圆台的( )A．高为eq\f(2\r(2),3)B．表面积为eq\f(34π,9)C．体积为eq\f(52\r(2)π,81)D．上底面面积、下底面面积和侧面积之比为1∶9∶24答案 BCD解析 对于A，设圆台的上底面半径为