2024年2月第二届“鱼塘杯”高考适应性练习数学参考答案和评分标准（定稿）(1)

绝密★启用前2024年2月第二届“鱼塘杯”高考适应性练习ƓϩҨ٫ޯŠӇœԶѤ̾本参考答案和评分标准共10页，19小题，满分150分.NjƂֻ뻭ͩ1.本参考答案和评分标准第I卷部分提供了答案和解析，第II卷部分提供了标准解答和评分标准.2.第II卷部分每一题只给出了一种解答提供阅卷参考，如果出现新的解答，按照本参考答案和评分标准的精神，划定步骤分评分.3.如果考生发现自己的改卷结果和本参考答案和评分标准不一致，可在官方QQ群中@任意一个管理员进行申诉，申诉时需要提供准考证号和自己的解答拍照.4.本联考活动最终解释权归鱼塘杯联考命题组所有.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本题主要考察基本知识和基本方法.1.设复数푧=1+i,푤=3+2i，则푧+푤的虚部是A.−3B.3C.−3iD.3i【答案】A.【解析】注意到푧+푤=4+3i，那么푧+푤=4−3i，其虚部为−3.푎2.如果可导曲线푦=푓(푥)在点(푥0,푓(푥0))的切线方程为푥+e푦−3=0，其中푎∈R，则′′′A.푓(푥0)>0B.푓(푥0)=0C.푓(푥0)<0D.无法确定【答案】C.131【解析】切线方程的斜截式为푦=−푥+，斜率−<0，所以푓′(푥)<0.e푎e푎e푎03.设锐角훼满足tan훼∈(0,1)，则数据sin훼,cos훼,sin(휋−훼),cos(훼+휋)的极差是√휋√휋A.2sin훼B.2cos훼C.2sin(훼−)D.−2sin(훼−)44【答案】B.【解析】因为tan훼∈(0,1)，并且훼是锐角，所以cos훼>sin훼>0，四个数据分别为sin훼,cos훼,sin훼,−cos훼，所以极差为cos훼−(−cos훼)=2cos훼.푥2푥24.设焦距相同的椭圆퐶∶+푦2=1和双曲线퐶∶−푦2=1(푎>0)相交于分别位于第142푎2一象限、第二象限的퐴,퐵两点，两圆锥曲线的公共左焦点为퐹，则|퐹퐴|2−|퐹퐵|2的值是Y数学试卷（参考答案和评分标准）第1页（共10页）√√√√A.2B.22C.42D.82【答案】D.√√√√【解析】椭圆的半焦距为4−1=3，所以有푎2=(3)2−1=2，所以푎=2，设右焦点√√퐹′，则|퐹퐴|2−|퐹퐵|2=|퐹퐴|2−|퐹′퐴|2=(|퐹퐴|+|퐹′퐴|)(|퐹′퐴|−|퐹퐴|)=2×2×2×2=82.5.已知公比푞与首项푎1均不为0的等比数列{푎푛}，则“{푎푛}单调递增”是“푞>1”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D.푛【解析】考虑푎1=−1时，푎푛=−푞，{푎푛}单调递增的充要条件是푞<1，所以“{푎푛}单调递增”是“푞>1”的既不充分也不必要条件.6.已知三棱锥푃−퐴퐵퐶底面△퐴퐵퐶为边长为2的等边三角形，푂是底面퐴퐵퐶上一点，三√⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗棱锥体积푉푃−퐴퐵퐶=3.则对∀휇,휆∈R，|푂푃+휇푂퐴+휆푂퐵|的最小值是√√3A.1B.3C.3D.3【答案】B.1휋1【解析】푆=(sin)22，푉=푆ℎ⇒ℎ=3，|푂푃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+휇푂퐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+휆푂퐵|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗表示△퐴퐵퐶23푃−퐴퐵퐶3△퐴퐵퐶푃到平面퐴퐵퐶上任意一点的距离，故最小值为ℎ=3.푥2푦27.设椭圆+=1的左、右焦点为퐹,퐹，椭圆上一点푃和平面一点퐹满足푃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗퐹=4퐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗푃，2516122则|퐹1퐹|的最大值与最小值之和是A.48B.50C.52D.54【答案】B.【解析】可以设푃(5cos휃,4sin휃)，因为퐹1(−3,0),퐹2(3,0)，得到퐹(25cos휃−12,20sin휃)，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2222所以퐹1퐹=(25cos휃−9,20sin휃)，那么|퐹1퐹|=(25cos휃−9)+400sin휃=225cos휃−⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗450cos휃+481∈[256,1156]，所以|퐹1퐹|∈[16,34]，最小值和最大值之和为16+34=50.푓(푥)+푓(푦)8.已知푓(푥)是定义在[0,+∞)上单调递增且图像连续不断的函数，且有푓(푥+푦)=，1+푓(푥)푓(푦)设푥1>푥2>1，则下列说法正确的是푓(푥)+푓(푥)푥+푥푓(푥)+푓(푥)푥+푥A.12>푓(12)>1B.1>12>푓(12)2222푥+푥푓(푥)+푓(푥)푥+푥푓(푥)+푓(푥)C.푓(12)>12>1D.1>푓(12)>122222【答案】D.푓(푥)+푓(0)【解析】푓(푥+0)=得到푓(0)(푓2(푥)−1)=0，因为푓(푥)单调递增，所以1+푓(푥)푓(0)푓(푥)不恒等于±1，故푓(0)=0.因为푓(푥)在[0,+∞)上单调递增，故푓(푥)⩾푓(0)=0.2푓(푥)푓(푥)+1푓(2푥)=.若存在푥,푓(푥)=1，则푓(푥+푥)==1，则푓(푥)恒等于1，1+푓2(푥)0001+푓(푥)Y数学试卷（参考答案和评分标准）第2页（共10页）与푓(푥)单调递增矛盾，故푓(푥)≠1,∀푥∈[0,+∞).若存在푥1,푓(푥1)>1，因为푓(푥)连续，푓(푥1)>1,푓(0)=0<1，故存在푥2,푓(푥2)=1，与上述第三条结论矛盾，故푓(푥)<1,∀푥∈푓(푥1)+푓(푥2)푓(푥1)+푓(푥2)[0,+∞).对于本题，푓(푥1+푥2)=⩾2，当且仅当푓(푥1)=푓(푥2)1+푓(푥1)푓(푥2)푓(푥1)+푓(푥2)1+[2]푥+푥2푓(12)2时取等，因为푥≠푥，푓(푥)单调递增，故不取等.푓(푥+푥)=.容易1212푥+푥21+[푓(12)]22푥푥+푥푓(푥)+푓(푥)证明푥∈[0,1)时，푔(푥)=为增函数，푔(푓(12))>푔(12)，所以1+푥222푥+푥푓(푥)+푓(푥)푥+푥푓(푥)+푓(푥)푓(12)>12.综上所述1>푓(12)>12.2222二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.本题主要考察基本知识和基本方法的适当扩展.9.对于一个随机试验，设Ω是样本空间，퐴是随机事件，휔是样本点，则下列说法正确的是A.퐴∈ΩB.퐴ΩC.휔∈ΩD.휔Ω【答案】BC.【解析】对于一个随机试验，其所有可能的结果的集合称为样本空间，样本空间的元素称为样本点或基本事件，随机事件是样本空间的一个子集.所以有휔∈Ω和퐴Ω.10.设全集为푈，设퐴,퐵是两个集合，定义集合푇(퐴,퐵)=(퐴∁푈퐵)(퐵∁푈퐴)，则下列说法正确的是A.푇(퐴,퐴)=∅B.푇(∅,퐴)=퐴C.푇(퐴,푈)=퐴D.푇(퐴,퐵)=푇(퐵,퐴)【答案】ABD.【解析】对푇(퐴,퐴)而言，퐴∁푈퐴=∅，所以푇(퐴,퐴)=∅；因为∅∁푈퐴=∅，且퐴∁푈∅=퐴퐴=퐴，所以푇(∅,퐴)=∅퐴=퐴；퐴∁푈푈=∅，且푈∁푈퐴=∁푈퐴，所以푇(퐴,푈)=∁푈퐴；푇(퐴,퐵)=(퐵∁푈퐴)(퐴∁푈퐵)=푇(퐵,퐴).11.已知定义域为[0,+∞)的函数푓(푥)=cos(휋푥)+sin(휋[푥]푥)，其中[푥]代表不超过푥的最大整数.设数列{푎푛}满足：푎푛是푓(푥)在[2푛,2푛+2]上最大值，数列{푥푛}满足：푓(푥푛)=푎푛且푥푛∈[2푛,2푛+2]，则下列说法正确的是A.푓(푥)最小值为−2B.푓(푥)在[2푛,2푛+2]有4푛+2个极值点1휋C.푥∈(2푛,2푛+)D.푎>cos+1푛4푛푛4푛【答案】BCD.【解析】푔(푥)⩾−1，当且仅当푥=2푛+1时取等，此时ℎ(푥)>−1，故푓(푥)=푔(푥)+ℎ(푥)>−2，不取等.푥∈[2푛,2푛+1)时令푥=2푛+푡,푡∈[0,1)，ℎ(푥)=sin(2푛휋푡),푔(푥)=cos(휋푡).푘푘휋2푘+1푓′(푥)=휋(2푛cos(2푛휋푡)−sin(휋푡)).푡=,푓(푥)=휋(2푛−sin)>휋>0;푡=,푓(푥)=푛푛2푛Y数学试卷（参考答案和评分标准）第3页（共10页）(2푘+1)휋휋(−2푛−sin)<−휋<0.计算可知푓(푥)在[2푛,2푛+1)上有2푛个极值点，同理2푛1可算得(2푛+1,2푛+2]上有2푛+1个极值点.푥∈(2푛+1−,2푛+1)时푓′(푥)>0，푥∈4푛1(2푛+1,2푛+1+)时푓′(푥)<0，故푥=2푛+1是一个极值点.综上所述푓(푥)在[2푛,2푛+2]4푛11上有4푛+2个极值点.푥∈(2푛,2푛+1−)时，因为cos[(푥+)휋]푓(4푛+2−푥)⟺sin(2푛휋푥)>sin(2푛(4푛+2−푥)휋)⟺sin(2푛휋푥)>1sin(−2푛휋푥)⟺sin(2푛푥)>0成立，故푓(푥)最大值在(2푛,2푛+)取得，即푥∈4푛푛11휋1휋1(2푛,2푏+).푓(2푛+)=cos+1，푓′(2푛+)=−휋sin<0，故2푛+不是4푛4푛4푛4푛4푛4푛1휋[2푛,2푛+2]上的最大值点，푎是[2푛,2푛+2]上的最大值，故푎>푓(2푛+)=cos+1.푛푛4푛4푛三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.本题主要考察基本知识和基本方法的适当扩展.12.若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是▴.√287【答案】휋.3√【解析】边长为2的正六棱柱与其侧面均相切的球半径3，若该球与其8个面均相切，则正√√√√4√287六棱柱的高为23.其外接球半径为√(3)2+22=7，则其体积为푉=휋(7)3=휋.3313.小鱼和A,B,C,D,E共六个好友在圆桌上用餐，则A坐在小鱼对面且B和C不相对的坐法的种数是▴.如果圆桌可以旋转后重合，则记为同一种排列方式.【答案】16.【解析】在小鱼和A和相对位置确定后，B有四种选择，B的每种选择确定下C有两种选择，C确定的情况下剩余两人有两种排列方式，故总坐法有4×2×2=16种.14.如果푋,푌是离散型随机变量，则푋在푌=푦事件下的期望满足퐸(푋∣푌=푦)=푚∑푥푖푃(푋=푥푖∣푌=푦)，其中{푥1,푥2,⋯,푥푚}是푋所有可能取值的集合.已知某独立重复试푖=1验的成功概率为푝，进行푛次试验，求第푛次试验恰好是第二次成功的条件下，第一次成功的试验次数푋的数学期望是▴.푛【答案】.2【解析】设随机变量푋,푌分别代表第一、第二次成功对应的试验次数，则푃(푋=푥푖,푌=푛)=푝2(1−푝)푛−2，以及푃(푌=푛)=(푛−1)푝(1−푝)푛−2푝=(푛−1)푝2(1−푝)푛−2，所以푛−1푃(푋=푥푖,푌=푛)1푃(푋=푥푖∣푌=푛)==，所以퐸(푋∣푌=푛)=∑푖푃(푋=푖∣푌=푃(푌=푛)푛−1푖=1Y数学试卷（参考答案和评分标准）第4页（共10页）1푛−11푛(푛−1)푛푛)=∑푖=⋅=.푛−1푖=1푛−122四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）设数列{푎푛},{푏푛}满足：푎1=2,푏1=3，且4푎푛+1−푏푛=푎푛−3푏푛+1,4푏푛+1−2푏푛=2푎푛−3푎푛+1对푛∈ℕ∗成立.（1）证明：{푎푛+푏푛}是等比数列；（2）求{푎푛}和{푏푛}的通项公式.本题主要考察数列的基本知识和基本方法.考察等比数列的定义和判定以及求通项公式的相关方法.【解析和评分标准】（1）移项得到4푎푛+1+3푏푛+1=푎푛+푏푛,4푏푛+1+3푎푛+1=2푎푛+2푏푛................（1分）3相加得푎+푏=(푎+푏).....................................................（3分）푛+