第22套：2024年2月“鸽子杯”数学试题(1)

2024年2月“鸽子杯”线上测试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。111.幂函数yx的图像经过(,)，则4211A.B.C.2D.2222.若由最小二乘法得到的回归直线yx1，则其均值点可能是A.(0,1)B.(1,0)C.(2,4)D.(3,7)3.已知集合A{1,2,m}，B{3,m2}，若AB，则满足条件的m有A.3个B.4个C.5个D.6个4.已知函数f(x)2sin(x)是奇函数，则f()A.0B.1C.2D.25.设A，B，C是三个事件，则对事件“A，B不同时发生且B，C有且只有一个发生”的表示中，正确的是A.ABCB.ABCABCC.ABCABCABCD.ABCABCABCABC26.设无穷整数数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn2an，则a2024A.2B.1C.1D.2xlnx7.函数f(x)的两个极值点对应的函数点均在直线l上，则l的方程为x211A.yxB.yxC.yxD.yx22数学试题第1页（共4页）8.已知动点P在圆x2y21上，定点Q的坐标为(1,1)，动点T满足OTOPOQ，其中，0，2224，则QT的最大值为A.22B.2C.2D.22二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.设复数z134i与z243i在复平面对应的点分别为P，Q，平面坐标原点为O，则12z12A.z1z2PQB.z1z2PQC.z1z2OQD.OQz210.已知椭圆C1，双曲线C2有相同的焦点F1，F2，焦距为2，且C1，C2离心率互为倒数.记A1，A2分别为C1，C2的两个顶点，C1，C2有公共点P，且有A1F1A1F2，A2F1A2F2，PF1PF2，则A.A1A2PF1B.A1A2PF2C.F1PF2PD.F1F2F2P11.左图为六个相同小正方体组合成的多面体，则可能是该多面体截面的是几何体ABCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在平面直角坐标系中，角的顶点为O，始边与x轴正半轴重合，终边过点(2,3)，则sin().613.已知正项数列{an}满足：当n为奇数和偶数时，an，an1，an2分别成等比数列和等差数列.设a11，a415，则{an}的通项公式为；设数列{an}的前n项和为Sn，则S10.14.已知等腰三角形的腰为1，则该等腰三角形内切圆面积的最大值为.数学试题第2页（共4页）四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）某老师在课堂测验上设置了一种新的大题题型，这种大题题型由一个题干和五个与题干有关的判断题组成，得分规则是：五道题中，全部正确判断则该大题得5分，有一道错误判断则该大题得3分，有两道错误判断则该大题得1分，有三道及以上错误判断则该大题不得分.假定随机判断时，每道题正确判断和错误判断的概率相等.（1）若考生所有题目都随机判断，求此时得分的分布列和数学期望；（2）若考生能够正确判断其中两道题目，其余题目随机判断，求此时得分的数学期望.16.（15分）请从以下三个条件中选择一个条件加入题干并完成求解，不同条件对应的本题满分不同，若选择多个条件进行求解，将以分值较大的解答作为评分依据：甲（满分10分）：BAC60，PBPC；乙（满分12分）：PA2PB，△ABC的面积为103；33丙（满分15分）：点P到平面ABC的距离为，PA25.3如图，在三棱锥PABC中，PAPB，PAPC，AB5，AC8.（1）求三棱锥PABC的表面积与体积；（2）求二面角ABCP的余弦值.17.（15分）已知函数f(x)eaxbcosx(absinx)，a0，b0.1（1）若a，b1，讨论f(x)在(0,2)的单调性；2（2）设tab0，t为定值，若f(x)在R上单调，求t的取值范围.数学试题第3页（共4页）18.（17分）循环排列（也称圆排列）是指从n个不同元素中取出m个不同的元素排成一个环形，既无头也无尾.循环排列视所有循环的情形为同一种排列，例如123、231、312在循环排列中便视为一种排列；同时将顺时针和逆时针视为两种循环排列，例如123和132便是两种不同的循环排列.（本题中，m，n均为正整数，且mn）（1）若从n个人中选择m个人围坐成一个圆桌，直接写出这样的排列个数；（2）定义：将n个不同元素划分成m个非空循环排列（即每个排列中都有至少一个元素），所有这样的排列的个数用符号s(n,m)表示.并规定s(0,0)1，s(n,0)0.①求s(4,2)；②证明：s(n,m)ns(n,m1)s(n1,m1)，其中mn；（3）已知某饭店有n张圆桌，每张圆桌最多可以容纳n个人，最少可以不坐人.现在有n个人来到饭店就餐，若将每张桌上围坐多人时不同的循环排列视为不同方案，将相同循环排列坐在不同桌视为同种方案，求总的方案数.19.（17分）在平面直角坐标系中有定点，，动点满足：点到轴xOyF1(2,0)F2(2,0)PPy2的距离与点P到F，F距离之和的比值为.124（1）求点P轨迹的方程；（2）设点Q为上一点，PQ4，求△PQF1面积的最大值.数学试题第4页（共4页）18.（17分）在平面直角坐标系xOy中有定点F1(2,0)，F2(2,0)，动点P满足：点P到y轴2的距离与点P到F，F距离之和的比值为.124（1）求点P轨迹的方程；（2）设点Q为上一点，PQ4，求△PQF1面积的最大值.19.（17分）循环排列（也称圆排列）是指从n个不同元素中取出m个不同的元素排成一个环形，既无头也无尾.循环排列视所有循环的情形为同一种排列，例如123、231、312在循环排列中便视为一种排列；同时将顺时针和逆时针视为两种循环排列，例如123和132便是两种不同的循环排列.（本题中，m，n均为正整数，且mn）（1）若从n个人中选择m个人围坐成一个圆桌，直接写出这样的排列个数；（2）定义：将n个不同元素划分成m个非空循环排列（即每个排列中都有至少一个元素），所有这样的排列的个数用符号s(,)nm表示.并规定s(0,0)1，s(n,0)0.①求s)2,4(；②证明：(n1)(,)snms(,nm1)s(n1,m1)，其中mn；（3）已知某饭店有n张圆桌，每张圆桌最多可以容纳n个人，最少可以不坐人.现在有n个人来到饭店就餐，若将每张桌上坐多人时不同的循环排列视为不同方案，求总的方案数.数学试题第4页（共4页）