第25套：2024年2月圆梦杯第四届AB卷参考答案与选填解析(1)

2024年普通高等学校招生“圆梦杯”统一考试B卷参考答案一、单选题1.D2.A3.C4.B5.C6.C7.D8.B二、多选题9.AC10.ACD11.BCD三、填空题2212.413.22-6；314.-2四、解答题15.解：zAB⊥BBB1⑴1⟹AB⊥面BBCC⇒AB⊥BC，C1AB⊥BC11又BC1⊥B1C⇒B1C⊥面ABC1，∴AC1⊥B1C.A1⑵∠B1BC=120°，建立如图所示的空间直角坐标系，BCy则有B0,0,0，C10,1,3，C0,2,0，A2,0,0，xABA=2,0,0，AC1=-2,1,3，C1C=0,1,-3，m=0,-3,1，n=3,3,1，1-37242cosθ==,sinθ=1-cosθ=277716.解：an+2an+1an+1⑴≥,设=qn∴q1≤q2≤⋯≤qn,an+1anann-1n-1∵a2=3,∴q1=3,an=a1∙q1∙q2⋯qn-1≥a1∙q1=33⑵a10=a1∙q1∙q2⋯q9=512≥q1∙q2∙q3∙a1，∴q1∙q2⋯q9≤8∴a4最大值为8，当且仅当q1∙q2∙q3=q4∙q5∙q6=q7∙q8∙q9时取等号。而q1≤q2≤⋯≤qn，∴q1=q2=⋯=q9=2而n≥10时，qn≥qn-1≥⋯≥q9=2n-1n-1∴an≥a1∙q=21∙1-11112n1∴++⋯+≤=21-<2na1a2an1-12217.解：a-1⑴f'x=-1+ax①a≤0,f'x<0，fx↘11a-1②a>0，x=，0a111a-11a-1ia>1，fx在0,↘，,+∞↗.aa111a-11a-1ii01ϕa>- 1,a<1ϕa<-1,1即ua=lna-a+1≤0,而u'a=-1a显然ua在0,1↗,1,+∞↘，∴ua≤u1=0成立！综上，x0随a的增大而增大.18.解：⑴X3的可能取值为0，1，2，3，131111123PX=0==，PX=1=C∙∙=,2832282121133131PX=2=C∙∙=，PX=3=C∙=，3228328X3的分布列为X301231331P888813313EX=0×+1×+2×+3×=.3888821iEX=i∙=.i22⑵可以将奇数次抽奖和偶数次抽奖看作两个独立的二项分布且Yi=Xi-i-Xi=2Xi-ii+1i-1①当i为奇数时，第奇数次抽奖共进行次，第偶数次抽奖共进行次，、22i+11i-12Yi+1∼B,，Zi-1∼B,222223而奇数次抽奖和偶数次抽奖相互独立， ∴DYi=D2Xi-i=4DXi=4DYi+1+DZi-122i+111i-122=4∙∙1-+∙∙1-22223317i+1=18②当n为偶数时,DYi=4DXi=4DYi+DZi22i11i22=4∙×1-+×1-22223317=i1819.解：⑴2x2-y2=2,∴4x2=8⟹x=±22x2+y2=6,由x2=2⟹y=±2∴AB=BC=CD=DA且AB⊥BC,∴ABCD为正方形⑵2(x-m)2+y2+n2-6=2yn⇒[2(x-m)2+y2+n2-6]2=4y2n2将y2=2x2-2代入,由“公式”知x1+x2+x2+x4=2m2x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=2m-4222222222222OA+OB+OC+OD=x1+x2+x3+x4+y1+y2+y3+y42222=3(x+x+x3+x4)-82A=3[(x1+x2+x3+x4)-2(x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4)]-822θ4=34m-22m-4-8=16θ1ODBθ3⑶记OA=a，OB=b，OC=c，OD=dθ2①当O在内部时，C1S=(absinθ+bcsinθ+cdsinθ+adsinθ)212341≤(ab+bc+cd+ad)(θ=θ=θ=θ=90°)212341a2+b2b2+c2c2+d2d2+a2≤+++(a=b=c=d)2222212222=(a+b+c+d)=82Oγ当且仅当四边形ABCD为正方形(m=n=0)取等αβD②当O在外部时，A1S=absinα+bcsinβ+cdsinγ-adsinα+β+γ21<(ab+bc+cd+ad)≤8.2BC综上，四边形ABCD面积最大值为8数学试题评分参考第1页（共7页）注：对称中心为什么可以用f''(x0)=0大家可以自行推广一下同时也可以思考一个littlequestion：f''(x0)=0,是f(x)关于(x0,f(x0))对称的什么条件数学试题评分参考第2页（共7页）第七题是一个经典的构型，共焦点模型，但是设计的却可以规避绝大部分共焦点结论，回归最朴素的想法：基本量思想给谁设谁还是求谁设谁？目标思想还是正面强推？这是永恒的话题，这种思想不仅体现在此题中，也可以体现在数列存在性问题，不等式中判别式法思想，值得我们反复揣摩第八题，从简单的几何意义入手命制，考察对于三角函数图像的基本认知，麻雀虽小，五脏俱全数学试题评分参考第3页（共7页）数学试题评分参考第4页（共7页）第九题回归基本概念，直方图是不是最熟悉的陌生人第十题从找基友结构入手，导出了经典的双数列递推问题，双数列和交错数列这些老朋友会不会继续在以后的大题里闪光呢？我们拭目以待第十一题，最关键的就是对于角的理解，圆梦杯对于角的刻画一直是比较别出心裁的，角度本身也是比较难刻画的量之一，一般三角形的内心你会刻画吗，给定两直线让你求角平分线方程你熟练吗？一个基本量有多少种等价转化方式，我们到底应该如何抉择，这是解析几何里很重要的事情数学试题评分参考第5页（共7页）数学试题评分参考第6页（共7页）数学试题评分参考第7页（共7页）