四川省射洪中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学（理科）试题答案

射洪中学高2021级高三下期入学考试数学(理科)答案一、选择题：1-4:ADCB5-8：ACBC9-12：BBDD二、填空题：177π13.-7；14.；15.；16.196三、解答题：17.【小问1详解】选①：因为数列an是等比数列，设公比为q，S2=6，且4a2，2a3，a4成等差数列，a1+a1q=6所以32，4分4a1q+a1q=4a1q解得a1=2,q=2，5分n-1n所以an=2×2=2；6分选②：因为数列an是递增的等比数列，a1a4=32，a2+a3=12，a1a4=a2a3=32a3所以，所以a2=4,a3=8，q==2，a2+a3=12a2n-2n-2n所以an=a2q=4×2=2；1111*【小问2详解】由(1)知：bn===-，且n∈N，log2an⋅log2an+1n(n+1)nn+19分1111111所以T=-+-+⋯+-=1-<1.n1223nn+1n+112分22218.【小问1详解】解：因为学生初试成绩X服从正态分布Nμ,σ，其中μ=65，σ=15，则80=65+15=μ+σ，2分11-0.6827所以PX≥80=PX≥μ+σ=1-Pμ-σ≤X≤μ+σ==0.15865，224分所以估计初试成绩不低于的人数为0.15865×1000≈159人.5分【小问2详解】解：Y的取值分别为0、10、20、30，6分332133231236则PY=0=1-×1-=，PY=10=×1-+1-×C××=，4525454255258分3123332933227PY=20=×C××+1-×=，PY=30=×=.425545204510010分故Y的分布列为：Y010203016927P25252010016927所以数学期望为EY=0×+10×+20×+30×=19.5.25252010012分高三数学（理科）入学考试参考答案第1页（共4页）19.【小问1详解】证明：因为∠DAB=∠ABC=2∠ABD=90°，所以AB=AD，1分32因为△SAB的面积为3的等边三角形，即AB=3，所以SA=AB=AD=2，4因为SD=22，所以，SA2+AD2=SD2，则AD⊥SA，3分又因为AD⊥AB，SA∩AB=A，SA、AB⊂平面SAB，所以，AD⊥平面SAB，因为SB⊂平面SAB，所以，AD⊥SB.5分【小问2详解】取AB的中点E，连接SE，因为△SAB为等边三角形，则SE⊥AB，又因为AD⊥平面SAB，以点E为坐标原点，AD、EA、ES的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则E0,0,0、S0,0,3、D2,1,0、A0,1,0、C1,-1,0，8分SA=0,1,-3，SD=2,1,-3，SC=1,-1,-3，n⋅SD=2x+y-3z=0设平面SCD的法向量为n=x,y,z，则，n⋅SC=x-y-3z=0取z=3，可得n=2,-1,3，易知平面SAB的一个法向量为m=1,0,0，10分m⋅n222所以，cosm,n===，所以平面SAB与平面SCD所成角的余弦值为．m⋅n22×12212分22820.【小问1详解】由题设l方程为bx+ax-ab=0因为l与圆x+y=相切，A1GA2G3222ab8所以：d==,3分a2+b23222aa122xy∵=2⇒=，所以a=8,b=4，所以椭圆方程为+=1cb22845分【小问2详解】由(1)知F1的坐标为-2,0，222AB①当直线l的斜率不存在时，AB=22，|OQ|=8，则=1；6分|OQ|2②当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx+2且k≠0，y=k(x+2)2222联立2y2，得2k+1x+8kx+8k-8=0，x+=184-8k28k2-8设Ax,y，Bx,y，则x+x=，xx=，8分1122122k2+1122k2+1222228k8k-842k+1AB=1+k-4×=，2k2+12k2+12k2+122y01-ky0y0设点Q(x0,y0)，则=-，即x0=-ky0，代入椭圆方程得+=1，x0k84222828k2228k+1解得y=，x=，所以|OQ|=x+y=，10分0k2+20k2+200k2+2高三数学（理科）入学考试参考答案第2页（共4页）216k+12222|AB|2k+12k+432所以2=2=2=2+1，又2k+1>1，OQ8k+12k+12k+1k2+222AB所以的取值范围是1,4．|OQ|222AB综上所述，的取值范围是1,4．12分|OQ|2xa-1e2x(2x-a)21.【小问1详解】f(x)=，∵x>0，a∈R，1分x2a①当a≤0时，f(x)≥0恒成立，函数fx在(0,+∞)上单调递增．2分aa②当a>0时，当0时，f(x)>0．22aa函数fx在0,上单调递减，在,+∞上单调递增．4分22综上所述，当a≤0时，函数fx的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；aa当a>0时，函数fx的单调递减区间为0,，单调递增区间为,+∞．225分f(x)【小问2详解】函数g(x)=alnx+-2x+1恰有两个零点，e2e2x等价于方程=2x-1-alnx有两个不等的实数解．6分e2xa2x2x-1e2xae∵x>0，a>0，=2x-1-alnx=lne-lne-lnx=ln，