浙江省七彩阳光联盟2023-2024学年高三上学期开学数学试题

绝密★考试结束前2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟返校考高三数学学科试题考生须知：1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若是的非空子集，，则（）A.B.C.D.2.若（是复数单位），则（）A.1B.C.D.23.的展开式中含项的系数为（）A.-30B.0C.15D.304.设为正实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（）A.23B.46C.159D.317附：若，则.6.已知是异面直线，是空间任意一点，存在过的平面（）A.与都相交B.与都平行C.与都垂直D.与平行，与垂直7.已知抛物线C：的焦点为，过作不与轴垂直的直线交于两点，设的外心和重心的纵坐标分别为（是坐标原点），则的值为（）A.1B.C.D.8.已知数列的前项和为，则下列结论不正确的是（）A.是递增数列B.是递增数列C.D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则下列结论正确的是（）A.B.与的夹角为C.D.在上的投影向量是10.已知函数图象关于点中心对称，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期B.C.的图象关于直线对称D.的图象向左平移个单位长度后关于轴对称11.已知函数定义域为，且，，则下列结论正确的是（）A.为奇函数B.为偶函数C.若，则D.若，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，则不同去法的种数为__________.（用数字作答）13.函数的值域为__________.14.已知正四面体的边长为是空间一点，若，则的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知等差数列的各项均为正数，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的通项公式及其前项和.16.（15分）如图，四棱锥中，平面平面为等边三角形，，是棱的中点.（1）证明：；（2）求平面与平面所成角的余弦值.17.（15分）许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏.在一个套娃娃的摊位上，若规定小朋友套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，每次套娃娃成功的概率为，每次套娃娃费用是10元.（1）记随机变量为小朋友套娃娃的次数，求的分布列和数学期望；（2）假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望.18.（17分）如图，已知椭圆，双曲线是的右顶点，过作直线分别交和于点，过作直线分别交和于点，设的斜率分别为.（1）若直线过椭圆的右焦点，求的值；（2）若，求四边形面积的最小值.19.（17分）设实数，已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若在上恒成立，求的取值范围.2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟返校考高三数学参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BBDACADC8.提示：由题意易得，由得，所以正确；且，所以，故C错误；由上面知也是递增数列，所以，即，所以正确；由上得，累加得，用错位相减法可求得，所以，故D正确.二､多项选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案BCDBCABD11.提示：由得，所以，故是奇函数，所以正确；由得，所以，故是偶函数，所以B正确；由题意得，令得由是奇函数得，且，解得当时，，所以错误.由题意得，令得当时，，所以正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.32；13.；14.；15.提示：设是正四面体内切球的球心，由体积法可求正四面体的内切球半径为，正四面体的外接球半径为，则，即，所以是正四面体内切球上一点，故的最小值为.四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）设的公差为，由题意得，，所以，故，的通项公式为.（2）由得，，所以，所以.由得.16.【解折】（1）在梯形中，由，得.又平面平面，平面平面平面，所以平面，所以平面平面又等边是棱的中点，所以，所以平面，故.（2）方法一：取中点，易知，所以平面，建立如图空间直角坐标系，设，则，由（1）知平面的一个法向量是，又设是平面的法向量，则，令，可得，所以，故，平面与平面所成角的余弦值为.方法二：延长和交于点，连接，则平面平面因为由（1）平面所以过作于点，连接，又因为，所以面，所以则为平面与平面所成角的平面角.又因为设则所以，所以故平面与平面所成角的余弦值为.17.【解析】（1）由题意知，随机变量的取值为，则，即的分布列为1234所以.（2）易知小朋友套娃娃未成功的概率为.，则小朋友套娃娃成功的概率为.记摊主每天利润为元，则的期望为，故摊主每天利润的期望为元.18.【解析】（1）设，直线方程为，与椭圆方程联立，得，所以.（2）设，直线方程分别为，联立与得，同理，联立与得，同理，所以四边形面积为令，易知，且，则，因为关于单调递增，所以，当取最小值时，，经检验满足题意.19.【解析】（1）当时，所以所求切线方程为，即.（2）由得，（*）令，易知在上单调递减，上单调递增当时，因为，所以，所以不等式（*）等价于，也等价于，即，又，所以在上单调递增，，故满足题意.当时，由在上单调递增知，在上有唯一实数解，设为，且.所以，所以要使在上恒成立，则，另一方面，，矛盾.故不满足题意，综合得，的取值范围为.（2）解法二：先证明对任意恒成立，设，当时，在上单调递减，时，在上单调递增，所以，即对任意恒成立.又，设，则，易知单调递增，所以.当时，，所以单调递增，单调递增，所以，符合题意.当时，同解法一.