专题01 数列大题（原卷版）

专题01数列大题解题秘籍等差数列通项公式：或等比数列通项公式：的类型，公式数列求和的常用方法：对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；等差数列求和，等比数列求和对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；万能公式：形如的数列求和为，其中，，（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和.即常见的裂项技巧：；；指数型；对数型.等模拟训练一、解答题1．（22·23·保定·二模）设等差数列的前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．2．（22·23·潍坊·三模）已知数列和满足．(1)证明：和都是等比数列；(2)求的前项和．3．（22·23·广州·三模）已知数列的前项和为，且，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和，求证：．4．（22·23·山东·二模）已知两个正项数列，满足，．(1)求，的通项公式；(2)若数列满足，其中表示不超过的最大整数，求的前项和．5．（22·23下·绍兴·二模）设数列的前项和为，数列是首项为1，公差为1的等差数列，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.6．（22·23·济宁·三模）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式;(2)若，求数列的前项和.7．（22·23下·无锡·三模）记为数列的前项和，已知，.(1)求的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求除以3的余数.8．（22·23下·苏州·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前2023项和.9．（22·23下·江苏·三模）已知正项数列满足，.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前2023项的和.10．（22·23下·镇江·三模）已知数列的前项和为，满足.等差数列满足.(1)求的通项公式；(2)将数列满足__________（在①②中任选一个条件）的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.①，②，其中.11．（22·23·张家口·三模）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：.12．（22·23·汕头·三模）设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”.(1)若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；(2)若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.13．（22·23·衡水·一模）已知数列，满足，是等比数列，且的前项和.(1)求数列，的通项公式；(2)设数列，的前项和为，证明：.14．（22·23·东莞·三模）已知数列和，，，.(1)求证数列是等比数列；(2)求数列的前项和.15．（22·23·深圳·二模）已知是等差数列，，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)令，记，求.16．（22·23·梅州·三模）已知数列满足，，.(1)证明：数列为等比数列.(2)数列满足，求数列的前项和.17．（22·23下·长沙·三模）已知等差数列前项和为，，.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求和：.18．（22·23下·岳阳·三模）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．19．（22·23·济南·三模）已知等差数列的前项和为，且满足.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和.20．（23·24上·永州·一模）已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求的前项和．21．（23·24上·郴州·一模）在数列中，为数列的前项和，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若.求数列的前项和.22．（22·23下·湖北·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列.(1)证明：数列是等比数列；(2)若，求数列的前项和.23．（22·23下·武汉·三模）记为数列的前n项和，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)设单调递增等差数列满足，且，，成等比数列．（ⅰ）求数列的通项公式；（ⅱ）设，试确定与的大小关系，并给出证明．24．（22·23下·襄阳·三模）已知数列满足，且的前100项和(1)求的首项；(2)记，数列的前项和为，求证：.25．（22·23下·武汉·三模）已知各项均不为零的数列的前项和为，，.(1)求的通项公式；(2)若恒成立，求正整数的最大值.26．（23·24上·湖北·一模）已知正项数列的前项和，满足：．(1)求数列的通项公式；(2)记，设数列的前项和为，求证．27．（22·23·日照·三模）已知数列满足：.(1)当时，求数列中的第10项；(2)是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由.28．（22·23下·烟台·三模）已知数列．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和29．（22·23·菏泽·三模）已知数列的前项和为，且满足，数列是首项为1，公差为2的等差数列．(1)分别求出数列的通项公式；(2)设数列，求出数列的前项和．30．（22·23·福州·二模）已知数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.31．（22·23·唐山·二模）已知为等差数列的前项和，且，当时，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．32．（22·23·宁德·二模）已知为等差数列的前项和，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前15项和．33．（22·23·三明·三模）已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，的前项和为，证明：.34．（22·23·厦门·三模）记为数列的前项和.已知.(1)证明：是等差数列；(2)若，，成等比数列，求的最小值.35．（22·23·龙岩·二模）已知等差数列的首项为1，公差，前项和为，且为常数．(1)求数列的通项公式；(2)令，证明：．36．（22·23下·浙江·二模）设数列的前n项和为，已知．(1)求的通项公式；(2)设且，求数列的前n项和为．37．（22·23下·浙江·二模）记为正数列的前项和，已知是等差数列.(1)求；(2)求最小的正整数，使得存在数列，.38．（22·23下·江苏·二模）已知等差数列的各项均为正数，，.(1)求的前项和；(2)若数列满足，，求的通项公式.39．（22·23下·温州·二模）已知等差数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，其中为数列的前项和.设表示不超过的最大正整数，求使的最大正整数的值.40．（22·23·沧州·三模）设公比为正数的等比数列的前项和为，满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列在区间中的项的个数，求数列前100项的和.