专题19 基本不等式小题（解析版）_20240229_233612

专题19基本不等式小题解题秘籍基本不等式，当且仅当时取等号其中叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数通常表达为：（积定和最小）应用条件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推论1（和定积最大）当且仅当时取等号基本不等式的推论2当且仅当时取等号其他结论①eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab＞0)．②eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)．③已知a，b，x，y为正实数，若ax＋by＝1，则有eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝＝a＋b＋eq\f(by,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，则有x＋y＝＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.注意1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．注意2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．注意3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．模拟训练一、单选题1．（22·23下·湖北·二模）若正数满足，则的最小值为（    ）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可求解.【详解】因为正数满足，所以.所以,当且仅当，即时，取等号，当时，取得的最小值为.故选：A.2．（22·23·邯郸·一模）已知，，且，则的最小值是（    ）A．2 B．4 C． D．9【答案】C【分析】根据“乘1法”，运用基本不等式即可求解.【详解】依题意，因为，所以，则，当且仅当，时，等号成立．故选：C.3．（22·23下·湖北·二模）已知，，且，那么的最小值为（    ）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】由题意可得，再由基本不等式求解即可求出答案.【详解】因为，，，则.当且仅当即时取等.故选：C.4．（22·23上·重庆·一模）已知a，b为非负实数，且，则的最小值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先根据题意求出，，然后将原式变形得，最后利用1的妙用即可求出其最值.【详解】，且,为非负实数，，则则，解得，，解得，，当且仅当即，时,即时等号成立，故，故选：B.5．（22·23下·长沙·一模）已知，则m，n不可能满足的关系是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对数的运算判断A，根据不等式的性质判断BCD.【详解】，即，即.对于A，成立.对于B，，成立.对于C，，即.故C错误；对于D，成立.故选：C.6．（22·23下·安康·二模）若，，且，则下列说法正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由基本不等式可判断A、B、C；因为，再由二次函数的性质可判断D.【详解】对于A：，故A正确；对于B：∵，∴，故B错误；对于C：，当且仅当时取等号，故C错误；对于D：，故D错误．故选：A．7．（22·23·滁州·二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（    ）A．6 B． C． D．【答案】C【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可.【详解】，因为a，b，c均为正数，所以有，当且仅当时取等号，即时取等号，故选：C8．（22·23·湛江·二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果.【详解】当，时，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为．所以，即．故选：A.9．（22·23下·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）．A． B．C． D．【答案】C【分析】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断.【详解】解：由图知：，在中，，所以，即，故选：C10．（22·23下·菏泽·一模）设实数满足，，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分为与，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不等式，即可求解得出答案.【详解】当时，，当且仅当，即，时等号成立，此时有最小值；当时，.当且仅当，即，时等号成立，此时有最小值.所以，的最小值为.故选：A.11．（22·23·江西·二模）实数，，满足：，则的范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】用立方和公式和完全平方公式将用与表示，再分离出，使用基本不等式求解即可.【详解】∵，∴，∴，∴，∴，∵，，令，则易知与均不为且符号相同，∴，解得或.（此时，可通过验证时，满足题意，，结合选项确定选项D正确.）又∵，，，，∴由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，∴，又∵，∴，（当时，），∴解得，即，当且仅当时，等号成立.∴综上所述，的取值范围是.故选：D.【点睛】易错点睛：本题若忽视中的与同号，直接使用基本不等式求解，就容易错解，而优先考虑与同号，并结合选项进行特值验证，则可以很轻松的选出正确选项.二、多选题12．（22·23·汕头·三模）若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】对于A，B，D，利用基本不等式即可求得答案；对于C，利用，求出，结合的范围，利用二次函数的性质即可求得.【详解】对于A，，即，当且仅当时等号成立，所以A正确；对于B，，，又，则，当且仅当时等号成立，所以B错误；对于C，，，所以，则，并且时等号成立.，所以C正确；对于D，，所以，则，当且仅当，即时等号成立，所以D正确.故选：ACD.13．（22·23·白山·一模）若正数a，b满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】由不等式的性质和基本不等式，验证各选项是否正确.【详解】因为，，所以，所以，则，当且仅当时，等号成立，故A错误；因为，所以，则，同理可得，因为，所以，当且仅当时，等号成立，则B正确；因为，所以，所以，所以，则C错误；因为，当且仅当时，等号成立，所以D正确．故选：BD14．（22·23·惠州·一模）若，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用条件进行指对数转换，得到，从而有，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】因为，所以，则，选项A，，故正确；选项B，因为，且，所以，故B正确；选项C，因为，故C错误；选项D，因为，故D正确，故选：ABD．15．（22·23下·烟台·三模）已知且，则（    ）A．的最大值为 B．的最大值为2C．的最小值为6 D．的最小值为4【答案】BC【分析】利用基本不等式可判断AB；先将化为，再妙用“1”可判断C；取特值可判断D.【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故错误；对于B，因为，所以，即，，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C，由得，所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D，令，则，所以的最小值不是4，D错误.故选：BC.16．（22·23下·江苏·二模）已知，，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】对于A利用基本不等式可判断；对于B利用不等式的基本性质以及指数函数的单调性即可判断；对于C可用特殊值法判断；对于D直接根据不等式的基本性质判断即可．【详解】，，且，，，当且仅当取等号，故A正确；，，且，，故B正确；则，故D正确；取，则，故C错误.故选：ABD．17．（22·23·济宁·二模）已知，且，则下列结论中正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用基本不等式可得，可判断A，C选项,特殊值法判断B，D选项错误.【详解】因为，，，，所以，当且仅当等号成立，故A正确，当,,则,故B错误；因为，所以，故C正确;当时,则，故D错误；故选：AC.18．（22·23上·宁波·一模）已知正实数、满足，则（    ）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最大值为【答案】AC【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，解出的取值范围，可判断AB选项；由已知可得出，利用二次函数的基本性质结合的取值范围，可得出的取值范围，可判断CD选项.【详解】因为正实数、满足，则，因为，解得，当且仅当时，取最大值，则A对B错；因为，所以，，令，因为函数在上单调递减，所以，，C对D错.故选：AC.19．（23·24上·长春·一模）设，为正实数，则下列不等式正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用基本不等式以及其变形以及不等式性质一一判断各选项，即可得答案.【详解】对于A，，为正实数，则，故，即，故，A错误；对于B，由于，当且仅当即时取等号，，当且仅当即时取等号，故，B正确；对于C，因为，为正实数，，故，故，即，C正确；对于D，因为，为正实数，则，当且仅当时，等号成立，故，即，D错误，故选：BC20．（22·23·福建·一模）已知正实数x，y满足，则（    ）A．的最小值为 B．的最小值为8C．的最大值为 D．没有最大值【答案】AC【分析】将代入，根据二次函数的性质即可判断A；根据及基本不等式可判断B；，根据基本不等式可判断C；，，根据基本不等式可判断D.【详解】因为x，y为正实数，且，所以.所以，当时，的最小值为，故A正确；，当且仅当时等号成立，故B错误；，当且仅当时等号成立，故，即的最大值为，故C正确；，，当且仅当，即时等号成立，所以.所以有最大值，故D错误.故选:AC.21．（22·23上·山西·一模）设，，，则下列结论正确的是（    ）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为9 D．的最小值为【答案】ABC【分析】对于AD，利用基本不等式判断即可；对于B，利用不等式判断即可，对于C，利用基本不等式“1”的妙用判断即可.【详解】对于A，因为，，，则，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，因为，故，当且仅当时取等号，即的最小值，故B正确；对于C，，当且仅当且，即，时取等号，所以的最小值为9，故C正确；对于D，，故，当且仅当时取等号，即的最大值，故D错误．故选：ABC.22．（22·23下·江苏·一模）已知正数a，b满足，则（    ）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】AC【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.【详解】对于A，，当且仅当时成立，A正确；对于B，，即，可得，所以，当且仅当时成立，B错误；对于C，，当且仅当时成立，C正确；对于D，由，当且仅当，即，等号成立，所以，此时，不能同时取等号，所以D错误.故选：AC.三、填空题23．（22·23·南开·一模）已知实数，则的最小值为.【答案】【分析】运用基本不等式求和的最小值即可.【详解】∵，，，∴，当且仅当即时取等号.故答案为：.24．（22·23下·崇明·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值等于．【答案】4【分析】直接利用基本不等式计算得到答案.【详解】，当，即，时等号成立，则的最小值为4．故答案为：4．25．（22·23·金山·二模）已知正实数满足,则的最小值为.【答案】【分析】因为，展开利用基本不等式求解即可.【详解】因为正实数满足,所以,当且仅当即时等号成立,所以的最小值为.故答案为:.26．（22·23·沈阳·二模）已知，则的最小值是．【答案】【分析】变形条件等式得，然后展开，利用基本不等式求最小值.【详解】，，，当且仅当，即时等号成立，的最小值是.故答案为：.27．（22·23·安庆·三模）已知非负数满足，则的最小值是.【答案】4【分析】根据题意，再构造等式利用基本不等式求解即可.【详解】由，可得，当且仅当