专题15 球体外接内切综合问题小题（解析版）

专题15球体外接内切综合问题小题解题秘籍球的表面积和体积公式球的表面积：S＝4πR2球的体积：V＝eq\f(4,3)πR3球的切接概念空间几何体的外接球：球心到各个顶点HYPERLINKhttps://baike.so.com/doc/1899472-2009678.html\t_blank距离相等且等于HYPERLINKhttps://baike.so.com/doc/6829737-7046932.html\t_blank半径的球是HYPERLINKhttps://baike.so.com/doc/6588086-6801860.html\t_blank几何体的外接球空间几何体的内切球：球心到各面HYPERLINKhttps://baike.so.com/doc/1899472-2009678.html\t_blank距离相等且等于HYPERLINKhttps://baike.so.com/doc/6829737-7046932.html\t_blank半径的球是HYPERLINKhttps://baike.so.com/doc/6588086-6801860.html\t_blank几何体的内切球几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 墙角模型（三条直线两两垂直）补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).直棱柱外接球之汉堡模型（1）补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同（2）作图：构造直角三角形，利用勾股定理直三校柱内接于一球（棱柱的上下底面为直角三角形）R=r2+h22底面外接圆的半径r的求法（1）正弦定理（2）直角三角形：半径等于斜边的一半（3）等边三角形：半径等于三分之二高（4）长（正）方形：半径等于对角线的一半正棱锥类型h−R2+r2=R2,解出R侧棱垂直与底面-垂面型R=r2+h22侧面垂直与底面-切瓜模型如图：平面PAC⊥平面BAC,AB⊥BC(AC为小圆直径)（1）由图知球心O必为△PAC的外心,即△PAC在大圆面上,先求出小圆面直径AC的长;（2）在△PAC中,可根据正弦定理asinA=2R,解出R如图：:平面PAC⊥平面BAC,PA=PC,AB⊥AC（1）确定球心O的位置,由图知P,O,H三点共线;（2）算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=ℎ（3）勾股定理:OH2+AH2=OA2⇒ℎ−R2+r2=R2，解出R内切球如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法)（1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积;（2）设内切球半径为r,建立等式:VP−ABC=VO−ABC+VO−PAB+VO−PAC+VO−PBC⇒VP−ABC=13SABC+SPAB+SPAC+SPBC⋅r;（3）解出r=3VP−ABCSABC+SPAB+SPAC+SPBC结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.模拟训练一、单选题1．（22·23下·湖北·二模）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出直三棱柱的高后可求其外接球的半径，从而可求外接球的表面积.【详解】因为，故，故的内切圆的半径为.因为直三棱柱存在内切球，故直三棱柱的高即为内切球的直径.而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径，故内切球的半径为1，故直三棱柱的高为2.将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，故外接球的半径为，故外接球的的表面积为.故选：D.2．（22·23·福州·二模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作平面，垂足为，结合可得为的外心，则，则，可得，进而可得，设为球心，为球的半径，结合勾股定理可得，进而求解.【详解】过点作平面，垂足为，因为，所以为的外心，则（为的外接圆半径），则，所以，,设为球心，为球的半径，则，因为，解得，所以球的体积为.故选：C.3．（22·23下·南京·二模）直角三角形中，斜边长为2，绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则长为（    ）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】设，则，依题意可得旋转后得到的几何体为圆锥，根据外接球的表面积求出球的半径，设外接球的球心为，则球心在直线上，利用勾股定理得到方程，即可求出.【详解】设，因为，所以，绕直角边所在直线旋转一周形成一个几何体为圆锥，设圆锥外接球的半径为，所以，解得，设外接球的球心为，则球心在直线上，所以，解得.故选：D4．（22·23·德州·三模）在四棱锥中，底面为矩形，平面，点为上靠近的三等分点，则三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理可得三角形的外接圆半径为，根据勾股定理即可求解外接球半径，进而可求表面积.【详解】由题意可得所以在三角形中，由等面积法可得,设三角形的外接圆半径为，圆心为,则由正弦定理得，由于平面,设三棱锥外接球的半径为,球心到平面的距离为，过作,则，因此,故外接球的表面积为,故选：A  5．（22·23下·厦门·二模）西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图1）．西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体．球缺的体积（R为球缺所在球的半径，h为球缺的高）．若一个西施壶的壶身高为8cm，壶口直径为6cm（如图2），则该壶壶身的容积约为（不考虑壶壁厚度，π取3.14）（    ）A．494ml B．506ml C．509ml D．516ml【答案】A【分析】依题意作出几何体的轴截面图，即可求出对应线段的长，进而求出球的半径和球缺的高，再根据球的体积公式和球缺的体积求解即可.【详解】如图作出几何体的轴截面如下面所示，依题意，，为球心，为壶口所在圆的圆心，所以，因为，所以，且，，所以球的半径，所以球缺的高，所以球缺的体积，所以该壶壶身的容积约为：.故选：A.6．（22·23下·莆田·二模）某校科技社利用3D打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（    ）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为，因为，所以，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以，所以该实心模型的体积为，所以制作该模型所需原料的质量为故选：C7．（22·23·邯郸·二模）如图①，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.某航空制造公司研发一种新的机械插件，其左右两部分为圆柱，中间为球切除两个相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如图②所示（单位：cm）.则该机械插件中间部分的体积约为（）（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据球的截面的性质由条件求出球的半径，切除掉的“球缺”的高，结合球的体积公式和“球缺”的体积公式可得结论.【详解】过球心和“球缺”的底面圆的圆心作该几何体的截面，可得截面图如下：由已知可得，设为的中点，则，由已知可得，又，所以，由求得截面性质可得为以为斜边的直角三角形，所以，即球的半径，所以以为球心，为半径的球的体积，又，所以，因为球的半径，，所以“球缺”的高为，所以一个“球缺”的体积，所以该机械插件中间部分的体积约为.故选：C.8．（22·23·黄山·三模）如图，球的表面积为，四面体内接于球，是边长为的正三角形，平面平面，则该四面体体积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据球的表面积求得求得半径，再根据题意得出当时，点到底面的距离最大，求出点到底面的距离即可求出最大值.【详解】因为球的表面积为，所以，由题意知底面三角形的面积为定值，要使四面体体积的最大，只须顶点到底面的距离最大即可，又因为平面平面，可知当时，点到底面的距离最大，外接圆的半径，则到面的距离为，且到面的距离为，设点到平面的距离为，则，解得，此时体积最大值为.故选：B.9．（22·23下·广州·三模）已知克列尔公式：对任意四面体，其体积和外接球半径满足，其中，，，，，，分别为四面体的三组对棱的长.在四面体中，若，，则该四面体的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出四面体的体积和p的值，利用克列尔公式即可求得四面体外接球半径，即可求得外接球的表面积.【详解】如图，设E为的中点，连接，  由于，故，而平面，则平面，而，，故，则四面体的体积为，由题意，故可得，解得，故该四面体的外接球的表面积为，故选：C10．（22·23下·岳阳·三模）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据球心到三棱锥各顶点的距离相等，作出辅助线，找到球心，求出外接球半径，结合二面角的平面角的定义，求出三棱锥的高、底面积，得到三棱锥的体积.【详解】取的中点，连接，因为，所以到的距离相等，故即为球心．由球的表面积等于，设外接球半径为，故，解得，过作垂直于于点，因为，，所以，同理，过点作，且，则，是二面角的平面角，，过点作，垂足为点.因为，，且两直线在平面内，所以平面，又平面，所以，,且两直线在平面内，所以平面，则为三棱锥的高，故三棱锥的高为，其中，所以三棱锥的体积．故选：B.11．（22·23下·长沙·二模）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点，平面，则该鞠（球）的表面积为（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中点为，连接，可证为外接球的球心，故可求半径，从而可得球的表面积.【详解】  取的中点为，连接，因为平面，而平面，故，故.同理，而，平面，故平面，而平面，故，故，综上，为三棱锥外接球的球心，而，故外接球的半径为3，故球的表面积为，故选：C12．（22·23·佛山·二模）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为（    ）（参考数据：，，，）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为，而圆台一个底面的半径为，再根据球、圆柱和圆台的体积公式即可求解．【详解】由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为（m），而圆台一个底面的半径为（m），则（m3），（m3），（m3），所以（m3）．故选：A．13．（22·23