专题22 函数值的大小比较小题（解析版）

专题22函数值的大小比较小题解题秘籍构造函数的重要依据常见构造类型常见的指对放缩，，，常见的三角函数放缩其他放缩，，，，，，放缩程度综合，方法技巧1构造相同函数，比较不同函数值2构造不同函数，比较相同函数值3.构造不同函数，比较不同函数值这个时候，不等式放缩就是首选之道了!4.先同构，再构造，再比较当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构(变形)出一个函数之后再来比较大小.模拟训练一、单选题1．（23·24上·郴州·一模）有三个数：，大小顺序正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用指数函数、三角函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答.【详解】，，所以.故选：A2．（22·23下·朝阳·一模）已知，则大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用换底公式结合对数函数的单调性可得出、、的大小关系.【详解】因为，，，又因为，且函数在上为增函数，故.故选：C.3．（23·24·景德镇·一模）设，，（e为自然对数底数），则a，b，c大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，，，且，构造利用导数研究单调性比较大小，即可得结果.【详解】由题设，，，显然，对于，的大小，只需比较大小，令且，则，即在上递减，所以，故，综上，，故.故选：B4．（22·23·云南·二模）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将与1比较确定b最大，再构造函数比较大小.【详解】因为，所以b最大，故排除选项C，D；取对数得，构造函数，则，在上单调递增，故，即，所以，即，所以，故选：A．5．（22·23·南开·一模）已知，则的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出，再根据对数函数的单调性结合中间量分别比较和的大小即可.【详解】由，得，因为，所以，即，因为，所以，则，所以，即，所以.故选：C.6．（22·23·衡水·三模）若，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造，对求导，得出的单调性、最值，可得，可判断；将不等式中的换为，可得，可知，通过对数运算可得，即可得出答案.【详解】．令，则．所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即，当且仅当时，等号成立．所以．将不等式中的换为，可得，当且仅当时，等号成立，所以；又，所以．故．故选：B.7．（22·23·遵义·三模）已知，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，利用单调性比大小即可.【详解】令，则，，即在上单调递增，在上单调递减，所以，故在R上恒成立，即，令，则，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，故在上恒成立，即，而，，即，令，则，，即在上单调递增，在上单调递减，所以，故在上恒成立，即令，由上知恒成立，即在R上单调递增，而，故，所以，故.故选：D【点睛】方法点睛：对于比大小问题构造函数是关键，需要积累，，等常用的放缩不等式，同时对于本题熟记等的近似值更快捷.8．（22·23·西安·一模）设且，则的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据对数的运算性质，分别得到，即可求解.【详解】由，可得，则因为，所以，则，因为，所以.故选：A.9．（23·24上·泸州·一模）已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b【答案】B【分析】首先根据幂函数所过的点求解幂函数解析式并判断函数单调性，然后通过自变量大小关系结合函数单调性判断函数值大小关系即可【详解】已知幂函数经过点，可得：，解得：.即，易知在上为单调递减函数.由于，可得：，即；又因为，，可得：，即；综上所述：.故选：B10．（22·23·潍坊·三模）已知，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，求出导函数得出单调性，从而可得，即，得出大小，同理可得大小，得出答案.【详解】∵，构造函数，，令，则，∴在上单减，∴，故，所以在上单减，∴，∵，构造函数，，令，则，∴在上单减，∴，故，所以在上单减，∴，故.故选：D.11．（22·23·西安·三模）已知，，，则、、的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，其中，利用导数分析函数在上的单调性，即可得出、、的大小关系.【详解】令，其中，则，因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数，则，所以，函数在上为减函数，所以，，即.故选：B.12．（22·23·深圳·二模）已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先得出，再找中间值和，通过构造函数，证明，判断，，由题意推出，，然后得出，，即可得出答案.【详解】因为，所以即比较与的大小，即比较与的大小，即比较与的大小，所以，即，令则，即在上单调递增所以，即，当时等号成立，令，得，所以，故，因为，即比较与的大小，即比较与的大小，即比较与的大小，得，即，由可得，所以，当时取得等号，令，得，所以，综上：.故选：B.13．（22·23·吕梁·二模）已知，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，，，令求导分析单调性可判断，再令，求导分析单调性可判断.【详解】，，，构造函数，，，令，，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以，所以．令，，，所以在上单调递减，所以，所以，所以，所以，所以．故选：D14．（22·23下·甘肃·一模）设，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】分别构造函数和，利用导数判断其单调性，进而确定大小关系.【详解】记，则，当时，，故在上单调递增，所以，即，所以.1，故；记，则，当时，，故在上单调递减，所以，即，所以，故；因此.故选：B.15．（23·24·大理·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性，从而确定的大小关系.【详解】令，则，，有.故函数在单调递增，故，即，所以，即，令，则，，有.故函数在单调递减，故，即，所以，即.综上：.故选：D16．（22·23下·杭州·一模）若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，对求导，结合导数分析函数的单调性，结合单调性即可比较函数值大小．【详解】令，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因为，所以，又，所以，所以，，所以，故．故选：B17．（22·23下·长沙·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】转化为比较比较的大小，构造函数，先证明，，中最大，设，先证明，再证明，即得解.【详解】要比较，，等价于比较的大小,等价于比较,即比较,构造函数,,令得,令得,所以在单调递增,单调递减.所以,因为，所以最大，即，，中最大，设，结合的单调性得，，先证明，其中，即证，令，，其中，则，所以，函数在上为增函数，当时，，所以，当时，，则有，由可知，所以，因为，所以即，因为，在单调递增，所以，即，因为所以所以，即，因为，在单调递减.所以，即，即，综上，.故选：D【点睛】关键点睛：应用对数平均不等式（需证明）证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.18．（22·23下·大连·一模）设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，，根据导函数得出在上单调递增，即可得出，即，构造，根据导函数得出函数的单调性，进而得出，即.【详解】令，，则.令，则.当时，，所以在上单调递增.又，所以，即，所以.令，则恒成立，所以，在R上单调递增.又，所以，即，所以.综上所述，.故选：A.19．（22·23上·重庆·一模）已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知结合式子特点合理构造函数，结合导数与单调性的关系分别证出，，然后进行赋值即可比较函数值的大小.【详解】令，则，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故，所以，当时取等号.所以，令，则，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故，所以，当时取等号.所以，即.故选：C.20．（22·23·四川·一模）设，，，下列判断正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据，，，设，分构造函数和函数，利用其单调性比较.【详解】解：因为，，，设，则构造函数，有，则单调递增，且，所以；再构造函数，有，则单调递增，且，所以，综上：．故选：D21．（22·23下·江苏·二模）设，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得解.【详解】因为，所以，所以，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以，令，则，所以函数在上递增，所以，即，即，所以，即，综上，.故选：A.【点睛】关键点点睛：构造函数，，利用中间量来比较的大小是解决本题的关键.22．（22·23·云南·三模）若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数并利用其单调性得出，再构造函数并利用其单调性得出；构造函数通过单调性可得到，从而得到结果.【详解】设，，则，即当时，，∴在上单调递增，∴，∴，即，设函数，，则，当时，，所以在上单调递减，所以，所以，所以，所以；设函数，则，令，，当时，，所以单调递增，而，所以，又在成立，所以在上恒成立，所以，即，所以，综上，.故选：D.【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.23．（22·23·汕头·三模）设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】比较大小，转化为比较大小，构造函数，通过求导判断的单调性，可得出大小；比较大小，转化为比较，构造函数，求导判断单调性，得到出大小，即可得出结论.【详解】设，则，当时，故在上单调递减，所以，即，所以，所以；设，则，当时，，故在上单调递减，所以，即，所以，所以，所以.故选：B【点睛】思路点睛：要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系，有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.24．（22·23下·武汉·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，对求导，得到的单调性的最值，结合对数函数和三角函数的性质，即可证明，再证明，令，通过指数和对数函数的运算性质可证明，即可得出答案.【详解】设，，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，，又，则，，所以，对于，令，则，此时，所以.故选：A.【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.25．（22·23下·浙江·二模）已知函数，，，，若，，则（    ）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据选项中不等式特征构造函数，根据其单调性可得，继而构造函数，利用其单调性推出，再结合不等式性质即可推出答案.【详解】设，则在上单调递减，因为，故，即，设，则，故在上单调递增，因为，故，即，由于，，故，则，即，所以A错误，B正确；由，，无法确定还是，C，D错误，故选：B【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据各选项中不等式特征，能够构造函数以及，继而判断其单调性，利用函数单调性解决问题.26．（22·23下·全国·二模）已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由，构造函数，通过求导讨论的单调性，再构造函数，通过求导讨论的单调性，得到，从而得到，从而判断出；再由，，求出，比较