信息必刷卷02（新高考新题型专用）（解析版）

绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）随着九省联考的结束，全国陆续有多个省份宣布在2024年的高考数学中将采用新题型模式。新的试题模式与原模式相比变化较大，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中单选题的题量不变，多选题、填空题、解答题各减少1题，多选题由原来的0分、2分、5分三种得分变为“部分选对得部分分，满分为6分”，填空题每题仍为5分，总分15分，解答题变为5题，分值依次为13分、15分、15分、17分、17分。新的试题模式与原模式相比，各个题目的考查内容、排列顺序进行了大幅度的调整。多年不变的集合题从单选题的第1题变为填空题，且以往压轴的函数与导数试题在测试卷中安排在解答题的第1题，难度大幅度降低；概率与统计试题也降低了难度，安排在解答题的第2题；在压轴题安排了新情境试题。这些变化对于打破学生机械应试的套路模式，对促使学生全面掌握主干知识、提升基本能力具有积极的导向作用。九省联考新模式的变化，不仅仅体现在题目个数与分值的变化上，其最大的变换在于命题方向与理念的变化，与以往的试题比较，试题的数学味更浓了，试卷没有太多的废话，也没有强加所谓的情景，体现了数学的简洁美，特别是最后一道大题，题目给出定义，让考生推导性质，考查考生的数学学习能力和数学探索能力，这就要求考生在平时的学习中要注重定理、公式的推导证明，才能培养数学解决这类问题的思维素养。试卷的命制体现“多想少算”的理念，从重考查知识回忆向重考查思维过程转变，试卷题目的设置层次递进有序，难度结构合理，中低难度的题目平和清新，重点突出；高难度的题目不偏不怪，中规中矩，体现了良好的区分性，可有效的引导考生在学习过程中从小处着手，掌握基本概念和常规计算；从大处着眼，建构高中数学的知识体系。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．的展开式中的系数为，则（）A. B.2 C.4 D.【答案】D【解析】二项式展开式的通项为（其中且），令可得，所以，解得.故选：D2．设是等比数列的前项和，若，则（    ）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，，因为成等比数列，故，即，解得，故.故选：B3．某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位：）分别为：，，，，，，，则下列说法错误的是（    ）A．若该八名选手成绩的第百分位数为，则B．若该八名选手成绩的众数仅为，则C．若该八名选手成绩的极差为，则D．若该八名选手成绩的平均数为，则【答案】A【解析】对A,因为，当,八名选手成绩从小到大排序，故该八名选手成绩的第百分位数为，但，故A错误；对B,由众数是出现次数最多的数据，B正确；对C,当，极差为，不符合题意舍去；当，极差为，符合题意当，极差为不符合题意舍去，综上，，C正确；对D,平均数为解得，故D正确.故选：A4.在中，，，，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，，，，由余弦定理可得，解得，所以，故选：D5．已知，则（    ）A．0 B． C． D．1【答案】A【解析】已知，则，，，，则，，则.故选：A.6．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】不考虑甲是否去场馆，所有志愿者分配方案总数为，甲去场馆的概率相等，所以甲去场馆或的总数为，甲不去场馆，分两种情况讨论，情形一，甲去场馆，场馆有两名志愿者共有种；情形二，甲去场馆，场馆场馆均有两人共有种，场馆场馆均有两人共有种，所以甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为.故选：B．7．在平行四边形中，，，，分别为，的中点，将沿直线折起，构成如图所示的四棱锥，为的中点，则下列说法不正确的是（    ）A．平面平面B．四棱锥体积的最大值为C．无论如何折叠都无法满足D．三棱锥表面积的最大值为【答案】C【解析】选项A，平行四边形,所以，又,分别为中点，所以,即四边形为平行四边，所以,又平面,平面,所以平面，又是中点，所以,又平面,平面,所以平面,又,平面,所以平面平面，故A正确；选项B，当平面平面,四棱锥的体积最大，因为，所以最大值为,故B正确；选项C，根据题意可得,只要,,平面,所以平面，即,故C错误；选项D，当,根据对称性可得,此时的面积最大，因此三棱锥表面积最大，最大值为,选项D正确.故选：C8．曲线是平面内与三个定点，和的距离的和等于的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线关于轴、轴均对称；②曲线上存在点，使得；③若点在曲线上，则的面积最大值是1；④曲线上存在点，使得为钝角.其中所有正确结论的序号是（    ）A．②③④ B．②③ C．③④ D．①②③④【答案】C【解析】设曲线上任意一点，由题意可知的方程为.①错误，在此方程中用取代，方程不变，可知关于轴对称；同理用取代，方程改变，可知不关于轴对称，故①错误.②错误，若，则曲线不存在，故②错误.③正确，P应该在椭圆D：内（含边界），曲线与椭圆D有唯一的公共点，此时当点P为点时，的面积最大，最大值是1，故③正确；④正确，由③可知，取曲线上点，此时，下面在曲线上再寻找一个特殊点，，则，把两边平方，整理得，解得，即或.因为，则取点，此时.故④正确．故答案为：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．最小正周期为B．函数在区间内有6个零点C．的图象关于点对称D．将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为【答案】AD【解析】，对于A：，A正确；对于B：当时，，则分别取时对于的的值为函数在区间上的零点，只有个，B错误；对于C：，故点不是的对称中心，C错误；对于D：由已知，当时，，因为在上的最大值为，所以，解得，D正确.故选：AD.10．已知直线与圆交于点，点中点为，则（）A.的最小值为B.的最大值为4C.为定值D.存在定点，使得为定值【答案】ACD【解析】直线，即，故直线过定点,且圆的圆心为，半径为2,，故在圆内，对于A，当和直线垂直时，圆心到直线的距离最大，距离，此时最小，，故A正确；对于B，当时，为圆的直径，此时直线过圆心，方程无解，故直线不可能过圆心，故B错误；对于C，设，则，当直线斜率不存在时，，联立圆得，，此时当直线斜率存在时，设直线，联立圆，得，即，，，,,带入得：，故为定值，故C正确；对于D，中点，故,且在上，所以,故是直角三角形，当为中点时，为定值，故D正确.故选：ACD11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因为，令得：，又因为，所以，故A正确；因为是定义域为的奇函数，所以，且为偶函数.令，可得：①再用代替可得：②①②得：所以：，所以是周期为3的周期函数，所以：，故B正确.因为：，，所以：，所以：，故C错误；又因为亦为周期为3的周期函数，且为偶函数，所以令，可得：，所以.所以：.故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若复数，则【答案】【解析】，则，.13．已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是．【答案】【解析】当时满足：且，，即，进而，解得．所以或，，令，，由于所以在单调递增，在单调递减，当时，，当时，，所以故答案为：．14．已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为【答案】【解析】如图：设为正四面体的外接球球心，为的中心,为的中心,为的中点，因为正四面体棱长为8，易得平面，易得，平面，平面，则，由正四面体外接球球心为，则在，则为外接球半径，由得，解得，即,在正四面体中，易得，，所以，则该八面体的外接球半径,所以该球形容器表面积的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．(1)当时，求的图象在点处的切线方程；(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）当时，，求导得，则，而，于是，即，所以的图象在点处的切线方程是.（2）函数定义域为，求导得，由，得，令，求导得，令函数，显然函数在上单调递增，而，则当时，，，当时，，，函数在上递减，在上递增，，因此，解得，所以实数的取值范围是.16．（15分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.【解析】（1）∵抛物线的焦点为，∴椭圆的半焦距为，又，得，.∴椭圆的方程为（2）证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，联立，得.，即，设，，则，，∴，∴.∴为定值  17．（15分）如图，在正四棱台中，.  (1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的正弦值.【解析】（1）延长交于一点P，连接BD交AC于O；  由正四棱台定义可知，四条侧棱交于点P，且四棱锥为正四棱锥，即，又点O分别为的中点，故，而，平面，故平面，又平面，故平面平面，即平面平面；（2）由（1）知两两垂直，故分别以为轴建立空间直角坐标系，  设棱台的高为h，则，又平面的法向量可取为，而，由题意知直线与平面所成角的正切值为，则其正弦值为，则，解得，所以，设平面的法向量为，则，令，则，故，而二面角范围为，故二面角的正弦值为.18.（17分）某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？性别就餐区域合计南区北区男331043女38745合计711788（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，．（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；（ⅱ）求第天他去甲餐厅用餐的概率．附：；0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635【解析】（1）依据表中数据，，依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联．（2）设“第天去甲餐厅用餐”，“第天去乙餐厅用餐”，“第天去丙餐厅用餐”，则两两独立，．根据题意得，．（ⅰ）由，结合全概率公式，得，因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为．（ⅱ）记第天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为，则，由全概率公式，得故①同理②③④由①②，，由④，，代入②，得：，即，故是首项为，公比为的等比数列，即，所以于是，当时综上所述：19．（17分）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质.（1）判断函数是否具有性质；（直接写出结论）（2）已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）设函数具有性质，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：.【解析】（1）因为，则，又，所以，故函数具有性质；因为，则，又，，故不具有性质.（2）若函数具有性质，则，即，因为，所以，所以；若，不妨设，由，得（*），只要充分大时，将大于1，而的值域为，故等式（*）不可能成立，所以必有成