2024届陕西省商洛市高三尖子生学情诊断考试（第二次）数学（文科）试卷

商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试（第二次）数学试卷（文科）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（）A.B.C.1D.03.一组数据：，则这组数据的方差为（）A.5.2B.26C.5D.4.24.设向量的夹角的余弦值为，则（）A.-1B.1C.-5D.55.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A.70B.112C.168D.2406.设是等差数列的前项和，且，则（）A.34B.30C.26D.227.已知偶函数在上单调递增，若，则（）A.B.C.D.8.已知，则（）A.B.C.D.9.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为是上的一点，点是轴上的一点，且，则的面积为（）A.B.C.D.10.数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，这样的数列称为“斐波那契数列”.若，则（）A.175B.176C.177D.17811.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，且平面，若，，则球的体积为（）A.B.C.D.12.已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，设函数，则的单调递减区间是__________.14.已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则__________.15.已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于两点，则__________.16.魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺•鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速､盲拧､单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一.一个三阶魔方，由27个棱长为1的正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了，则该魔方的表面积增加了__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）随着科学技术飞速发展，科技创新型人才需求量增大，在2015年，国家开始大力推行科技特长生招生扶持政策，教育部也出台了《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见（征求意见稿）》为选拔和培养科技创新型人才做好准备.某调研机构调查了两个参加国内学科竞赛的中学，从两个中学的参赛学员中随机抽取了60人统计其参赛获奖情况，并将结果整理如下：未获得区前三名及以上名次获得区前三名及以上名次中学116中学349（1）试判断是否有的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关？（2）用分层抽样的方法，从样本中获得区前三名及以上名次的学生中抽取5人，再从这5人中任选3人进行深度调研，求所选的3人中恰有2人来自中学的概率.附：，其中.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.63518.（本小题满分12分）在中，内角的对边分别为，且.（1）证明：是钝角三角形；（2）平分，且交于点，若，求的周长.19.（本小题满分12分）如图，在多面体中，平面平面，四边形是矩形，四边形是边长为2的菱形，是侧棱上的一点，且.（1）证明：；（2）若为棱的中点，求点到平面的距离.20.（本小题满分12分）设分别是椭圆的左､右焦点，，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）作直线与椭圆交于不同的两点，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值.21.（本小题满分12分）已知函数的导函数为.（1）证明：函数有且只有一个极值点；（2）若恒成立，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，证明：.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.商洛市2024届高三尖子生学情诊断考试（第二次）•数学试卷（文科）参考答案､提示及评分细则1.A因为，所以.故选A.2.B，所以，所以的虚部为.故选B.3.A依题意这组数据的平均数为，所以方差为.2.故选A.4.B设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，所以，所以.故选B.5.C第一次执行，由，则，又由，则进入循环；第一次循环，由，则，又由，则进入循环；第二次循环，由，则，又由，则进入循环；第三次循环，由，则，又由，则进入循环；第四次循环，由，则，又由，则进入循环；第五次循环，由，则，又由，则进入循环；第六次循环，由112，则，又由，不成立，退出循环，则输出.故选C.6.B设等差数列的公差为，由，所以解得，所以.故选B.7.A因为偶函数在上单调递增，所以在上单调递减.，所以只需比较的大小即可.因为，所以.又因为，所以，故.而在上单调递减，所以，即.故选A.8.C由，可得，即，所以.故选C.9.D由题意知，设，所以，又，所以，所以，所以，解得，所以的面积.故选D.10.B由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，由，得，所以，将这个式子左､右两边分别相加可得，所以.所以，所以.故选B.11.D在中，，由余弦定理得，设外接圆的圆心为，则平面，且，而平面，因此，取的中点，连接，则四边形为矩形，则，球的半径，体积.故选D.12.C不等式等价于，令，根据题意对任意的，当时，，所以函数在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，则，所以当时，，单调递增；当时，单调递减.所以，所以.故选C.13.（开区间，半开半闭区间也正确）依题意，令，解得，所以的单调递减区间是.14.6由题意知，所以，解得.15.圆的圆心，半径，由双曲线的离心率为，得，解得，于是双曲线的渐近线方程为，即.当渐近线为时，点到此直线的距离，即直线与已知圆相离，不符合要求；当渐近线为时，点到此直线的距离，则直线与已知圆相交，弦长.16.如图，转动后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，俯视图如图，由图形的对称性可知，为等腰直角三角形，设直角边，则斜边，故，可得.由几何关系得，故转动后的表面积，故表面积增加了.17.解：（1）补全列联表如下：未获得区前三名及以上名次获得区前三名及以上名次总计中学11617中学34943总计451560所以，故没有的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关.（2）由题知，用分层抽样抽取的5人中，来自中学的有2人，记为，来自中学的有3人，记为，从这5人中任选3人进行深度调研，所有的结果有，共10种，其中恰有2人来自中学的结果有，共6种，故所求概率.18.（1）证明：在中，，由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，因为，所以，所以是钝角三角形.（2）解：因为，且，所以，由余弦定理，得，解得（负值舍去），所以的周长为.19.（1）证明：连接，则，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：因为平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.过在平面内作，交棱的延长线于点，因为平面平面，所以平面，因为，所以，因为平面，且平面，所以平面，所以点到平面的距离等于.因为，所以，所以，所以.由平面，得，所以，因为，设点到平面的距离为，所以，即，所以，即点到平面的距离为.20.解：（1）设椭圆的半焦距为.因为，所以，解得，因为椭圆的离心率为，所以，即，解得，则，故椭圆的方程为.（2）由，根据题意可知直线的斜率存在，可设直线的斜率为，则直线的方程为.把代入椭圆的方程，消去整理得.设，则，则，所以线段的中点坐标为.①当时，，线段的垂直平分线为轴，于是.由，解得；②当时，线段的垂直平分线的方程为.由点是线段的垂直平分线上一点，令，得.因为，所以，解得，所以.综上所述，实数的值为.21.（1）证明：由题意知的定义域为，且，令，则，所以（即）在上单调递增，又所以在上有唯一零点，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数有且只有一个极值点.（2）解：恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立.令，则，所以，令，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，解得，即实数的取值范围为.22.（1）解：由得到，即，所以曲线的普通方程为.又因为，则，整理得，即曲线的极坐标方程为，（2）证明：由题意可得直线的参数方程为（为参数），代入，整理得，所以.则，所以.23.解：（1）当时，，即；当时，，解得，即；当时，，解得，此时无解.综上，不等式的解集为.（2）因为不等式恒成立，所以，即恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以，即实数的取值范围为.