函数图像的对称问题专题总结

函数图像的对称专题一、图像的对称变换（1）函数y|f(x)|的图像可以将函数yf()x的图像____去下翻上_____得到；“去下翻上”详解：x轴及其上方的图像不动，轴下方的图像（如果有的话）沿轴对称翻折到轴上方.（2）函数yf(|x|)的图像可以将函数的图像______去左翻右____得到。“去左翻右”详解：y轴及其右边的图像不动，y轴左边的图像（如果有的话）去掉，并将轴右边的图像沿y轴对称翻折到轴左边.（3）关于xa,yb，，yx(,)ab的对称翻折见二（二）【例1】(1)f(x)x22|x|3的增区间是_________________.(1,0),(1,)(2)f(x)|x22|x|3|k的增区间是________________;(3,1),(0,1),(3,)(3)若有6个零点，则k的取值范围是________.(3,4)二、图像的对称（一）自对称图一图二图三1.基本结论：ab（1）若yf()x满足f()()axfbx，则yf()x的图象关于直线x成轴对称（图一）．2特殊化：f()()axfax的图象关于直线xa对称；再特殊化：f()()xfx的图象关于直线x0对称；ab（2）若满足f()()axfbx，则的图象关于点(,0)成中心对称（图二）．2特殊化：f()()axfax的图象关于点(a,0)对称；再特殊化：f()()xfx的图象关于点(0,0)对称.一般化：fax()fax()2bfax()2bfax()f(x)2bf(2ax)yf()x的图象关于点(,)ab对称（图三）．2.核心原理：中点坐标公式.从而易得f(x)f(2ax)f()()axfax13.梳理成表格：一般情关于直差个关于点f()()axfbxf()()axfbx况线___对负号___对称称特殊化：关于直差个关于点f()()axfaxf()()axfax上式线___对负号___对称ab时称更特殊：关于差个关于f()()xfxf()()xfx上式___对称负号___对称a0时3.核心原理：中点坐标公式【例2】（1）若函数fx()满足：f(x1)f(1x)0，则fx()的图象的对称轴为________；x1（2）若函数fx()满足：f(x)f(x4)，则的图象的对称轴为________；x2（3）若函数fx()满足：f(2x2)f(22x)0，则的图象的对称轴为________．x2（4）若函数满足：f(x1)f(1x)0，则的图象的对称中心为________；(1，0)（5）若函数满足：f(x)f(x4)，则的图象的对称中心为________；(2，0)（6）若函数满足：f(x2)f(2x)2，则的图象的对称中心为________．(2，1)bx1（7）已知函数fx(满足f(x)f(2x)6，则a________;b_________.1,3xa2x1（8）已知函数f(x)(x1)31,则f(2x)f(x)______________.22x1112020(9)已知函数yf()x的图象关于(,)对称，则f()()......f()220222022202220212021f()_________..20222（二）两个函数图像的对称初步（1）函数yf()x的图像与函数yf()x的图像关于_______对称；（2）函数yf()x的图像与函数的图像关于________对称；（3）函数yf()x的图像与函数的图像关于______对称；（4）函数yf(2ax)的图像与函数的图像关于______对称（图四）；（5）函数y2bf(x)的图像与函数的图像关于_______对称（图四）；图四（6）函数y2bf(2ax)的图像与函数的图像关于_________对称（图四）；（7）函数xf()y的图像与函数yf()x的图像关于直线_________对称.核心原理仍然是_____中点坐标公式______（图四）.21【例3】(1)函数ylg与ylgx的图像关于______对称.(3,1)600100x（2）已知g()xlgx，f()x的图像与g()x的图像关于)1,2(对称，则f()x的解析式是________.(3)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()解析:C由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．三、图像的应用（综合练习与巩固）【1】将函数fx的图象关于yx对称，然后向右平移1个单位，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则的解析式为（）BA．f(x)lnx1B．f(x)lnx1C．f(x)1lnxD．fxex1【2】若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)图象的对称轴方程是()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2解析：A因为f(2x＋1)是偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，所以f(x)＝f(2－x)，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝1.【3】对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确是_______________.解析:①②.作出f(x)的图象，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．【4】已知fx是定义在R上的偶函数，gx是定义在上的奇函数，且gxf()x1，则ff20172019的值为__________.0A．1B．1C．0D．无法计算解析:由题意，得g(x)f(x1)，∵是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，∴g()xgx，f()xfx，∴f()()x11fx，∴fxf(x2)，∴fxf()x4，∴的周期为4，∴ff2017（）1，f2019f3f(1)，又∵（）f1f()1g00，∴ff201720190．【5】若函数fx()满足：f(x)f(x4)，且与直线ykx2k交于四个点，则这四个点的横坐标3之和x1x2x3x4__________.8.2|x1|,1【】已知函数满足则方程1x的解的个数为6fx(2fx2______.3x4x3,x1【变式一】已知函数满足则方程f[f(x)]0的解的个数为______.5【变式二】已知函数满足则方程f[f(x)]0的解集为__________.(,6][2,0][22,4]2【7】已知函数f(x)x2|x|1,则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是()A．f(x1)＋f(x2)<0B．f(x1)＋f(x2)>0C．f(x1)－f(x2)>0D．f(x1)－f(x2)<0解析:D.函数f(x)的图象如图实线部分所示，且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，又0<|x1|<|x2|，∴f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.x2＋2x－1，x≥0，思考：若上题的函数改为f(x)＝呢？x2－2x－1，x<0，【8】已知当x0,1时，函数y()mx12的图象与yxm的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）A．(0,1][23,+)B．(0,1][3,)C．(0,2][23,+)D．(0,2][3,+)221解析:B.在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)(mx1)mx与g()xxm的大致图m象．分两种情形：1（1）当01m时，1，如图①，当x0,1时，fx与gx的图象有一个交点，符合题意．m1（2）当m1时，0，如图②，要使fx与gx的图象在0,1上只有一个交点，m只需gf11，即11mm()2，解得m3或m0（舍去）．4综上所述，m0,1[3,)．故选B．x【9】函数f(x)|log0.5x|2的零点个数为________．xx11解析:2.由fx0，得|log0.5x|，作出函数yx1||log0．5和y2的图象，22由上图知两函数图象有2个交点，故函数fx有2个零点．x【变式一】函数f(x)＝2|log0.5x|－1的零点个数为________．1解析：由＝，得＝x2.f(x)0|log0.5x|2.【变式二】f(x)|log0.5x|k(k0)的零点是xx1,，则（）A1A.xx1B.xx1C.xx1D.xx11112x【变式三】f(x)|log0.5x|2的零点是，则（）BA.B.C.D.【10】（波浪锯齿形）若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2x)f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点有_______个.解析:4.因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，故函数的周期为2.当x∈[0,1]时，f(x)＝x，故当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x.函数y＝f(x)－log3|x|的零点的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点，故选B.【11】（波浪锯齿形）定义在R上的奇函数f（x），满足，且f（x）在区间[0，1]上是减函数，则（）C．A．f（x）的图象关于直线x＝2对称B．f（x）的图象关于直线(3,0)对称C．f(3)f(2018)f(2019)D．[11，12]是f（x）的一个单调增区间【12】已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？5(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示，由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，即原方程有一个解；当00)，H(t)＝t2＋t，因为H(t)＝t＋2－在区间(0，＋∞)上是增函数，24所以H(t)>H(0)＝0.因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．四、真题赏析（全国卷中的对称）全国卷是“对称热爱狂”.新课标高考十六年以来（2007-2022）的和新高考三年以来（2020-2022），全国卷函数小题大约有共120道左右的，和对称有关的真题超过40道，占三分之一，是函数板块第一高频考点.现积累如下.1.基础的对称【1】（2007全国一，文9，理9）fx()，gx()是定义在R上的函数，h()()()xfxgx，则“fx()，gx()均为偶函数”是“hx()为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【2】（2014全国一，文5，理3）设函数f(x),g()x的定义域为R，且f()x是奇函数，g()x是偶函数，则下列结论中正确的是（C）A.f()()xgx是偶函数B.|f(x)