专题03二次根式的计算与应用二次根式的双重非负性1.（2023春·上海静安·八年级统考期末）方程x+1x-1=0的根是．【答案】1【分析】根据二次根式的性质可得，从而可得，再将方程转化为，据此解答即可．【详解】解：由二次根式的被开方数的非负性得：，即，，则原方程可化为，，解得．故答案为：1．【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．2.（2023春·安徽六安·八年级校考期中）若代数式14-x在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【答案】【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案．【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，∴，解得，即的取值范围是，故答案为：【点睛】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．3.（2023春·江西上饶·八年级统考期中）当a=2022时，求a+a2-2a+1的值．如图是小亮和小芳的解答过程： (1)______的解法是错误的；(2)错误的原因______；(3)当a>3时，求a2-6a+9-|1-a|的值．【答案】(1)小亮(2)未能正确地运用二次根式的性质(3)-2【分析】（1）运用二次根式的性质来进行化简，再将代入求解来进行判定；（2）运用二次根式的性质来求解；（3）根据得到，，利用二次根式的性质进行化简求解.【详解】（1）解：，，，原式，故小亮的解法错误.故答案为：小亮.（2）解：小亮解法错误，错误的原因是：未能正确地运用二次根式的性质，将变形为.故答案为：未能正确地运用二次根式的性质.（3）解：，，，.x-32=3-x【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质和绝对值的性质是解答关键.4.（2023春·江苏苏州·八年级苏州高新区实验初级中学校考阶段练习）若QUOTEx-32=3-xx-32=3-x，则x的值为．【答案】3【分析】根据二次根式有意义的条件可得，根据二次根式的性质可得，进而即可求解．【详解】解：∵，∴，又∴故答案为：3．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．5．（2023春·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）若式子有意义，则实数的m的取值范围是（ ）A．且B．且C． D．【答案】A【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．【详解】解：∵式子有意义，∴，解得：且，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的分母不等于零，二次根式的被开方数为非负数．二次根式的性质应用1．（2023春·安徽合肥·八年级校联考期中）若实数x，y满足，求的值．【答案】【分析】根据被开方数是非负数，可得，的值，根据代数式求值，可得答案．【详解】解：由题意，得，，解得，当时，．当，时，．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出，的值是解题关键．2．（2023春·广西梧州·八年级统考期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是．【答案】【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式组求解．【详解】根据题意得：，解得．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的概念和性质，以及解一元一次不等式组．3．（2023春•莘县期末）若2＜a＜3，则等于（ ）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1【答案】C【分析】先根据2＜a＜3把二次根式开方，得到a﹣2﹣（3﹣a），再计算结果即可．【详解】解：∵2＜a＜3，∴＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．4．（2022秋•虹口区校级月考）已知，则x的取值范围是（ ）A． B． C． D．或【答案】B【分析】把等式左边化简后有|2﹣3|x||＝2+3x，可得到2+3x≥0和2﹣3|x|＝2+3x，再得x≤0，最后得到x的范围．【详解】解：等式左边＝|2﹣3|x||，它要等于2+3x，则x≤0且2+3x≥0，所以≤x≤0．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简：．同时考查了绝对值的意义．5．（2022秋•黄浦区校级月考）二次根式中字母x的取值可以是（ ）A．﹣1 B． C．0 D．3【答案】D【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到x﹣1≥0，求解即可．【详解】解：由题意，得x﹣1≥0，解得x≥1．故x可以取3，故选：D．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．6．（2022秋•黄浦区校级月考）化简：+（）2＝ ．【答案】﹣2a【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式有意义的条件化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝﹣a+（﹣a）＝﹣2a．故答案为：﹣2a．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与二次根式有意义的条件，正确化简二次根式是解题关键．7．（2023春·甘肃定西·七年级统考期中）实数a,b,c在数轴上的对应点如图所示，化简b-a+(b-c)2-a2. 【答案】c【分析】根据数轴表示数的方法得到a0，b-c<0，∴b-a+(b-c)2-a2=b-a+b-c-a=b-a-b-c+a=b-a-b+c+a=c.【点睛】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质，负数的绝对值它的相反数化简代数式是解题关键．最简二次根式及分母有理化1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）下列名式化成最简二次根式正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的性质进行求解即可．【详解】解：A、，原式化简错误，不符合题意；B、，原式化简错误，不符合题意；C、，原式化简正确，符合题意；D、，原式化简错误，不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键．2．（2023春•虹口区期末）若实数，则代数式a2﹣4a+4的值为 ．【答案】3【分析】先把a分母有理化，再代值计算即可解答本题．【解答】解：∵a＝＝＝＝2+，∴原式＝（a﹣2）2＝（2+﹣2）2＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是对a进行分母有理化，明确二次根式化简求值的方法．3.（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）已知x<0,y>0，则x2y化简后为．【答案】【分析】根据二次根式的性质，计算即可得出答案．【详解】解：∵，∴．故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的化简，解本题的关键在熟练掌握二次根式的性质．4．（2022秋•徐汇区期末）计算：＝．【答案】．【详解】解：＝＝．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的化简，解本题的关键在熟练掌握二次根式的性质．5．（2022秋•闵行区期中）计算：；【答案】3﹣2【详解】解：原式＝﹣2×+＝﹣+2﹣2+1＝3﹣2；【点睛】本题考查了二次根式的化简，解本题的关键在熟练掌握二次根式的性质．6.（2022秋•河北邯郸期末）已知，求的值．【答案】96【详解】解：∵，，∴=96【点睛】本题考查了二次根式的化简及完全平方公式的应用，解本题的关键在熟练掌握二次根式的性质．7．（2022秋•浦东新区期中）观察下列运算：（1）由，得﹣1（2）由，得……问题：（1）通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来；（2）利用（1）中发现的规律计算：．【答案】2018【详解】解：（1）＝﹣（n为正整数）；（2）原式＝（﹣1++﹣+•••+﹣）（+1）＝（﹣1）（+1）＝2019﹣1＝2018．【点睛】本题考查了二次根式的化简及平方差公式的应用，解本题的关键在熟练掌握二次根式的性质．8．（2023春·河南信阳·八年级统考阶段练习）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简．例如：化简解：∵∴；请你仿照上面的方法，化简下列各式：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照例题，根据，即可求解；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．【详解】（1）解：∵，；（2）解：．【点睛】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．二次根式的新定义运算1．（2023春·福建龙岩·七年级校联考期中）将一组数3，6，3，12，15，…，90，按下面的方法进行排列：3，6，3，12，15，18，21，24，27，30……若12的位置记为(1,4)，24的位置记为(2,3)，则这组数中最大的有理数的位置记为（ ）A．(5,2) B．(5,3) C．(6,2) D．(6,3)【答案】C【分析】将这组数据变形为3×1，3×2，3×3，3×4，3×5，…，3×30，再得到最大的有理数为3×27，最后根据排列的规律得出答案．【详解】解：这组数3，6，3，12，15，…，90，也就是3×1，3×2，3×3，3×4，3×5，…，3×30，共有30个数，每行5个，因为30÷5=6，所以这组数的最大的有理数是3×27，这组数据的第27个位于第6行，第2个，因此这组数的最大有理数的位置记为(6,2)，故选：C．【点睛】本题考查了算术平方根，数字的变化规律，将这组数据变形为3×1，3×2，3×3，3×4，3×5，…，3×30，得到最大的有理数为3×27是解决问题的关键．2．（2022春•科左中旗期末）对于任意不相等的两个实数a，b，新定义一种运算“※”如下：a※b＝，则2※6＝ ．【答案】2．【详解】解：2※6＝＝＝＝＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查了运算的新定义，二次根式的运算，根据提示解题。3.（2023春•盐城期中）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式．（1）若a与是关于4的因子二次根式，则a＝ ；（2）若﹣1与m﹣是关于﹣2的因子二次根式，求m的值．【答案】（1）2；（2）﹣1．【解答】解：（1）根据题意得a×＝4，解得a＝2，故答案为：2；（2）根据题意得（﹣1）×（m﹣）＝﹣2，所以m﹣＝﹣＝﹣（+1），解得m＝﹣1，即m的值为﹣1．【点睛】本题主要考查二次根式的新的运算规律，理解概念根据提示是解题的关键。4.（2022秋•吉州区期末）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．（1）若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝ ；（2）若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．【答案】（1）2；（2）m＝﹣2．【解答】解：（1）∵a与是关于4的共轭二次根式，∴＝4．∴a＝＝2；故答案为：2；（2））∵与是关于12的共轭二次根式，∴．∴18+6+3m+3m＝12．∴m（3+3）＝﹣6﹣6．∴m＝﹣2．【点睛】本题主要考查二次根式的数字的变化规律，解答的关键是由所给的定义进行解题，理解概念根据提示是解题的关键。5．（2022秋·福建宁德·八年级校考期中）根据学习“数与式”积累的经验，探究下面二次根式的运算规律．①1+13=43=213；②2+14=94=314；③3+15=________；④4+16=________．…(1)将题目中的横线处补充完整；(2)若n为正整数，用含n的代数式表示上述运算规律，并加以证明；(3)计算：【答案】(1)165=415；256=516(2)n+1n+2=(n+1)1n+2，证明见解析(3)20222【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；（2）分析所给的等式不难得第n个等式为：n+1n+2=(n+1)1n+2，对等式左边进行整理即可得证；（3）利用（2）中的规律进行求解即可．【详解】（1）解：③3+15=165=415；④4+16=256=516；故答案为：165=415；256=516；（2）规律为：n+1n+2=(n+1)1n+2，证明：左边=n+1n+2=n2+2n+1n+