黑龙江省大庆市大庆中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题

2024-03-19 · 10页 · 635.5 K

大庆市大庆中学2024高三年级开学考试试题(数学)(卷面分值:150分;考试时间:120分钟)第I卷(选择题共58分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若复数,则()A.B.C.1D.-12.五人站成一排,如果必须相邻,那么排法种数为()A.24B.120C.48D.603.已知向量,则()A.B.C.D.4.已知数列满足,则()A.3B.2或-2C.3或-3D.25.的展开式中的系数为()A.-30B.-20C.20D.306.设抛物线的焦点为,过点且倾斜角为的直线与交于两点,以为直径的圆与准线切于点,则的方程为()A.B.C.D.7.在中,,则下列各式一定成立的是()A.B.C.D.8.双曲线的左,右焦点分别为,过作垂直于轴的直线交双曲线于两点,的内切圆圆心分别为,则的面积是()A.B.C.D.二、多选题:本大题共3小题,每小题6分,共计18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.9.如图,棱长为2的正方体中,分别为的中点,则()A.B.与所成角的余弦值为C.四点共面D.的面积为10.已知函数的部分图像如图所示,则()A.在上单调递增B.在上有4个零点C.D.将的图祭向右平移个单位,可得的图像11.定义在上的函数满足,且不是常值函数(即:的值域不是单元素集合),则()A.B.C.时,D.为奇函数第II卷(非选择题共92分)三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计15分.12.已知集合,则的子集个数为__________.13.在工业生产中轴承的直径服从,购买者要求直径为,不在这个范围的将被拒绝,要使拒绝的概率控制在之内,则至少为__________;(若,则14.在1,3中间插入二者的乘积,得到,称数列为数列1,3的第一次扩展数列,数列为数列1,3的第二次扩展数列,重复上述规则,可得,3为数列1,3的第次扩展数列,令,则数列的通项公式为__________.四、解答题:本大题共5小题,共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13分)在中,的对边分别为,已知.(1)求;(2)已知点在线段上,且,求长.16.(15分)在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,,二面角为直二面角.(1)证明:;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.17.(15分)甲、乙两人进行射击比赛,每次比赛中,甲、乙各射击一次,甲、乙每次至少射中8环.根据统计资料可知,甲击中8环、9环、10环的概率分别为,乙击中8环、9环、10环的概率分别为,且甲、乙两人射击相互独立.(1)在一场比赛中,求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率;(2)若独立进行三场比赛,其中场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数,求的分布列与数学期望.18.(17分)已知椭圆的离心率为,点在椭圆上,过点的两条直线分别与椭圆交于另一点,且直线的斜率满足.(1)求椭圆的方程;(2)证明直线过定点;(3)椭圆的焦点分别为,求凸四边形面积的取值范围.19.(17分)已知函数.(1)证明曲线在处的切线过原点;(2)讨论的单调性;(3)若,求实数的取值范围.大庆市大庆中学2024年高三年级月考数学(答案)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分1.A2.C3.D4.C5.A6.B7.B8.A二、多选题:本大题共3小题,每小题6分,共计18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分9.ACD10.ABC11.AB三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计15分12.413.0.113.因为为所以,所以,又,所以,所以是以为首项,3为公比的等比数列,所以,所以.四、解答题:本大题共5小题,共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.【答案】(1)(2)【解析】(1),由余弦定理得,即,则可得;(2)由余弦定理,,则在中,由正弦定理可得,.16.解:(1)在四棱锥中,因为二面角为直二面角,所以平面平面,因为底面为正方形,所以,而平面平面平面,所以平面,而平面,所以,又因为平面,所以平面,又因为平面,所以;(2)分别取中点为,连接,因为,所以,又因为平面平面=平面平面平面,所以平面,以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,设是平面的一个法向量,则,即,不妨取,,则是平面的一个法向量.设直线与平面的夹角为,则.所以直线与平面所成的角的正弦值为.17.【答案】(1)0.2(2)分布列见解析期望为0.6【解析】(1)设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件,则事件包括:甲击中9环乙击中8环,甲击中10环乙击中8环,甲击中10环乙击中9环,则.(2)由题可知的所有可能取值为,由(1)可知,在一场比赛中,甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2,则,所以,,故的分布列为01230.510.380.0960.008所以.18.(17分)(1)由题设得,解得,所以的方程为;(2)由题意可设,设,由,整理得,.由韦达定理得,由得,即,整理得,因为,得,解得或,时,直线过定点舍去;时,满足,所以直线过定点.(3)由(2)得直线,所以,由,整理得,由题意得,因为,所以,所以,令,所以,在上单调递减,所以的范围是.19.(17分)(1)由题设得,所以,又因为,所以切点为,斜率,所以切线方程为,即,恒过原点.(2)由(1)得,①时,,当时,在上单调递增,当时,在上单调递减;②时,时,在上单调递增,时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;③时,在上单调递增,在上单调递减;(3)当时,,即,下面证明当时,,即证,令,因为,所以,只需证,即证,令,令,令与在上单调递减,所以在上单调递减,,所以存在,使得,即,所以,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,令时,所以在上单调递增,所以,所以,所以在上单调递减,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,综上所述.以上各题的其他解法,限于篇幅,从略,请酌情给分.

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