黑龙江省大庆市大庆中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题

大庆市大庆中学2024年高三年级开学考试试题（数学）（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）第I卷（选择题共58分）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若复数，则（）A.B.C.1D.-12.五人站成一排，如果必须相邻，那么排法种数为（）A.24B.120C.48D.603.已知向量，则（）A.B.C.D.4.已知数列满足，则（）A.3B.2或-2C.3或-3D.25.的展开式中的系数为（）A.-30B.-20C.20D.306.设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于两点，以为直径的圆与准线切于点，则的方程为（）A.B.C.D.7.在中，，则下列各式一定成立的是（）A.B.C.D.8.双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（）A.B.C.D.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（）A.B.与所成角的余弦值为C.四点共面D.的面积为10.已知函数的部分图像如图所示，则（）A.在上单调递增B.在上有4个零点C.D.将的图祭向右平移个单位，可得的图像11.定义在上的函数满足，且不是常值函数（即：的值域不是单元素集合），则（）A.B.C.时，D.为奇函数第II卷（非选择题共92分）三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知集合，则的子集个数为__________.13.在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为__________；（若，则14.在1，3中间插入二者的乘积，得到，称数列为数列1，3的第一次扩展数列，数列为数列1，3的第二次扩展数列，重复上述规则，可得，3为数列1，3的第次扩展数列，令，则数列的通项公式为__________.四､解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）在中，的对边分别为，已知.（1）求；（2）已知点在线段上，且，求长.16.（15分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.17.（15分）甲､乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为，乙击中8环､9环､10环的概率分别为，且甲､乙两人射击相互独立.（1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；（2）若独立进行三场比赛，其中场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求的分布列与数学期望.18.（17分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线分别与椭圆交于另一点，且直线的斜率满足.（1）求椭圆的方程；（2）证明直线过定点；（3）椭圆的焦点分别为，求凸四边形面积的取值范围.19.（17分）已知函数.（1）证明曲线在处的切线过原点；（2）讨论的单调性；（3）若，求实数的取值范围.大庆市大庆中学2024年高三年级月考数学（答案）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分1.A2.C3.D4.C5.A6.B7.B8.A二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分9.ACD10.ABC11.AB三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分12.413.0.113.因为为所以，所以，又，所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以，所以.四､解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.【答案】（1）（2）【解析】（1），由余弦定理得，即，则可得；（2）由余弦定理，，则在中，由正弦定理可得，.16.解：（1）在四棱锥中，因为二面角为直二面角，所以平面平面，因为底面为正方形，所以，而平面平面平面，所以平面，而平面，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以；（2）分别取中点为，连接，因为，所以，又因为平面平面=平面平面平面，所以平面，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设是平面的一个法向量，则，即，不妨取，，则是平面的一个法向量.设直线与平面的夹角为，则.所以直线与平面所成的角的正弦值为.17.【答案】（1）0.2（2）分布列见解析期望为0.6【解析】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件，则事件包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，则.（2）由题可知的所有可能取值为，由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，则，所以，，故的分布列为01230.510.380.0960.008所以.18.（17分）（1）由题设得，解得，所以的方程为；（2）由题意可设，设，由，整理得，.由韦达定理得，由得，即，整理得，因为，得，解得或，时，直线过定点舍去；时，满足，所以直线过定点.（3）由（2）得直线，所以，由，整理得，由题意得，因为，所以，所以，令，所以，在上单调递减，所以的范围是.19.（17分）（1）由题设得，所以，又因为，所以切点为，斜率，所以切线方程为，即，恒过原点.（2）由（1）得，①时，，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减；②时，时，在上单调递增，时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；③时，在上单调递增，在上单调递减；（3）当时，，即，下面证明当时，，即证，令，因为，所以，只需证，即证，令，令，令与在上单调递减，所以在上单调递减，，所以存在，使得，即，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，令时，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递减，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，综上所述.以上各题的其他解法，限于篇幅，从略，请酌情给分.