宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学(理科)试卷

绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷(银川一中第一次模拟考试)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则A． B． C． D．2．已知z1+i=1−1i，则z=A．2 B．22 C．2 D．13．若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则与所成角为A． B． C．或 D．或4．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计甲班10b乙班c30合计附：P(K2≥k0)0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为eq\f(2,7)，则下列说法正确的是A．列联表中c的值为30，b的值为35B．列联表中c的值为15，b的值为50C．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”5．已知向量，，则A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则6．将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点，那么的值为A． B． C． D．7．贺兰山岩画公园不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图是岩画公园风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为A． B．C．D．8．已知，点满足方程，且有，则的取值范围是A． B． C． D．9．若数列满足，则“，，”是“为等比数列”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是A．B．C．D．或11．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分．若选项中有其中个选项符合题目要求，随机作答该题时至少选择一个选项所得的分数为随机变量其中，则有A． B．C． D．12．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是A．勒洛四面体被平面截得的截面面积是B．勒洛四面体内切球的半径是C．勒洛四面体的截面面积的最大值为D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．记的内角的对边分别为，若，则角________.14．甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有________种不同的情况.（用数字作答）15．斜率为k的直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x-5）2+y2=9相切于点M，且M为线段AB的中点，则k=________.16．已知函数的图象关于对称，且，则的值是________.解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．(12分)已知数列的首项a1=2，且(n≥2)．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：．18．(12分)已知菱形边长为，，以为折痕把△ABD和△CBD折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，，不重合.（1）求证：；（2）若，求点到平面的距离.19．(12分)某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的性能指数在的适合小小班幼儿使用（简称A类产品），在的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用，和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.16.3024.870.411.64表中，，，.根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程.（i）建立关于的回归方程；（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取）.参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.20．(12分)已知为坐标原点，椭圆的上焦点是抛物线的焦点，过焦点与抛物线对称轴垂直的直线交椭圆于两点，且，过点的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点，记△APE面积为的面积为，求的取值范围．21．(12分)已知函数，其中．（1）若有两个零点，求的取值范围；（2）若，求的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+2cosθ，y=2sinθ（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=41+3sin2α.(1)求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；(2)若直线l:y=kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P，Q，且|OQ|=|PQ|，点M的直角坐标为1,0，求△PMQ的面积．23．[选修4-5：不等式选讲]已知均为正实数，函数的最小值为4．(1)求证：；(2)求证：．