2024届湘豫名校联考高三第二次模拟考试数学参考答案

湘豫名校联考#$#%届春季学期高三第二次模拟考试数学参考答案题号!#&%'()*!$!!答案+,+-,.+,-.,-.-+,一!选择题本题共小题#每小题'分#共%$分/在每小题给出的四个选项中#只有一项是符合题目要求的/!!+!$解析%因为#0!#%(#所以$#%#$0!#%#!故选+!!1%!3&2$!3&2%$!12%%3#2#!,!$解析%由02得%0000#32则%0#12所以%在复平面内对应的点为%1&!32$!32%$!12%#$#1!%位于第四象限!故选,!!!!&!+!$解析%由题意&$'%为偶函数则10(!($!解得0(!3($!!又$%%!所以0!故选+!!&!&!!&$!%$&$!%&&$&%!-!$解析%因为)0&&&0!*0$456&)%0$456&&%0$!%%$!%0!且$!%&$即$%*%!+0$!%456&$456&)%0456&$456&&%0456&$!%%456&!0$所以)&*&+!故选-/'!,!$解析%依题意记选&初心'队为事件#选&使命'队为事件$该单位获胜为事件,则-$#%0-$$%0-$$,%-$$%-$,'$%$!'-$,'#%0$!-$,'$%0$!)!所以-$$',%000-$,%-$#%-$,'#%3-$$%-$,'$%$!'7$!))0!故选,!$!'7$!3$!'7$!)!'(!.!$解析%由题意知四边形#$./为等腰梯形如图连接$/过点/作/0(#槡####槡##$垂足为0则#00所以/00槡#/1#00!1槡#0!在#槡!#####89)/0$中'$/'0'/0'3'$0'0'所以.!与.#的离心率之积为'#$''#$''#$'#$##%#(00槡0#!故选.!'$/'3'#/'''$/'1'#/''''$/'#1'#/'#''1!)!+!$解析%方法一)设*1#$0过点1作12(#$于点2!由#10$1!'#,+2'!得#20#$0!!所以'#,+1'00!因为$,+00$,+/3/,+00$,+/1#:5;:5;!#,+$'#,+$'0'$,+/'0#所以*#/$0所以#,+1($,+00#,+1(#!!!!!$,+/1#,+$0#,+1($,+/1#,+1(#,+$07#7:5;177!##:5;#:5;#7:5;0!!故选+!方法二)如图取#$的中点3连接31易知31(#$以3为坐标原点以直线#$为'轴直线31为4轴建立平面直角坐标系3'4!设.$#)#*%)&$*&$由题意点1在线段#$的中垂线即4轴上设1$$&%又#$1!$%$$!$%'$.'0%#)3!#)1!所以/*0*$#)1!%#3$#*%#0!(即!#!#数学参考答案!第!页!共页{#{QQABTQAEggCgQIIAABgCQQXiCAGQkACACKoOxAAIIAAACBNABAA=}#}书##&1$*1$#*#*%)3%*0!'3%)!由#1/三点共线得0即&0!因为#,+10$1$1$1!%#)3!#)3&!#)3&1$1!%##*#)1!#)1&#)1&#*#$1!$%0!$,+00*1$!$%0*所以#,+1($,+0030!#)3&!#!###)3&$#)%#1*3%*#!'3%)1*00!!故选+!#$#)3&%#$#)3&%41'!,!$解析%设点-的坐标为$'4%又405'3'且'354153%0$由405'3'得50代入'3541'53%0$并整理得$'3#%#3$41&%#0即为点-的轨迹方程!又点-$'4%到点6$)&%的距离等于!所以$'1)%#3$41&%#0!所以圆$'3#%#3$41&%#0与圆$'1)%#3$41&%#0!有公共点所以#槡#1!-槡$)3#%#3$&1&%#-#槡#3!即1#槡#1!-)3#-1#槡#3!或#槡#1!-)3#-#槡#3!解得1#槡#1&-)-1#槡#1!或#槡#1&-)-#槡#1!!故选,!二!选择题本题共&小题#每小题(分#共!分!在每小题给出四个的选项中#有多项符合题目要求!全部选对的得(分#部分选对的得部分分#有选错的得$分!*!-.,!$解析%对于-由题中折线图知人均可支配收入逐年递增-正确*对于+由题中折线图知#$!#$#&年前三季度全国城镇居民人均消费支出先增后减再增+错误*对于.#$!#$#&年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为&*%#1#*'**0*#*元人均消费支出的极差为#%&!'1!*$!%0'&$!元#$&)*3#!*!.正确*对于,#$!#$#&年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为0#!!$#元,正确/故选-.,/!$!-.!$解析%因为函数&$'1!%的图象关于直线'0!对称所以&$'%的图象关于4轴对称即&$'%为偶函!!数!所以&$1'%0&$'%!因为40的图象的对称中心为原点3$$$%所以40的图象的对称中心为''1#$#$%所以&$#3'%3&$#1'%0$!对于-由&$'%为偶函数知&$1#3'%3&$1#1'%0&$#1'%3&$#3'%0$所以点$1#$%是&$'%图象的一个对称中心-正确*对于+由&$#3'%3&$#1'%0$得&$%3'%3&$1'%0$所以&$%3'%3&$'%0$则&$'%01&$'3%%0&$'3%所以&$'%为周期函数且是该函数的一个周期+错误*对于.由&$#3'%3&$#1'%0$得&$%1'%3&$'%0$即&$%1'%01&$'%因为&$'%为偶函数所以&$%1'%为偶函数.正确*对于,由&$#3'%3&$#1'%0$得&$&%3&$!%0$所以&$&!%3&$&'%0&$7%1!%3&$7%3&%0&$1!%3&$&%0&$&%3&$!%0$,错误!故选-.!!!!-+,!$解析%对于-如图设$.的中点为7连接-7#7则由正四面体的性质知-7必过点2且-7($.#7($.!因为-7##707-7.平面-#7#7.平面-#7所以$.(平面-#7!又#2.平面-#7所以$.槡&#!(#2!因为-70#70!70*&-20-70(&270-70&&#槡&槡&槡!-##槡&###所以:5;*#-700!在)-#2中由余弦定理得#20-#3-21-7&##槡&####-#7-2(:5;*#-70!3$(&%1#7!7(&70#!(所以#20((所以#23270#7所槡槡&槡以#2(27!因为$.#2707$..平面-$.72.平面-$.所以#2(平面-$.所以#2(-$-正确/对于-还可以这样证明因为#$0#.0#-所以点#在平面-$.内的射影为)-$.的外心2所以数学参考答案!第!#页!共页{#{QQABTQAEggCgQIIAABgCQQXiCAGQkACACKoOxAAIIAAACBNABAA=}#}#2#2(平面-$.所以#2(-$!对于+由题意知五面体#$./01为正三棱台!因为;2<*#7200#7#槡#!所以三棱台#$./01的高为8027(;2<*#720#(所以该棱台的体积为908$:)#$.3&槡&!:)/013:)#$.(:)/01%07#(7$!&3&(&3'%&%0&%##+正确!对于+还可以这样求解槡&槡槡槡槡槡&#!*!*!槡 五面体#$./0109-#$.19-/0109-#$.19-#$.09-#$.0777!7!&#)#)&!%##&####!1!7槡70&%#槡#!对于.因为#60槡#23260槡#!(3260(槡)解得260(过点槡!#&2作2;/-.2,/-$分别交$.于点;,则四边形.12;和$02,均是边长为(的菱形点6在四边形0$.1内$含边界%的轨迹为以2为圆心+(为半径的圆被四边形0$.1所截的弧1;和弧0,!设弧!1;的长度为<则<07(0#!所以动点6的轨迹长度为%!.错误!对于,连接26#6与平面-$.所成的角为*#62所以9=<*#6200(,正确/故选-+,/26槡三!填空题本题共&小题#每小题'分#共!'分!!#!!!$解析%不妨设正三角形:#$的边长为#则圆锥:3!的底面半径为!高为槡&母线长为#所以9!0&!#槡&#槡&%槡&%槡&!7!7槡&0!:!0!7!3!7!7#0&!*易得球3#的半径为所以9#0!70!&&&&!&#)#槡&%9!*:#%9!:#:#0%!70!所以00故(0!!!&&9#%:!*9#:!##!&!$!$解析%方法一)由已知得,9=<$#3$%19=<#-:5;$0;2<$若:5;$0$则;2<$0$则;2<$3:5;$0$这##与;2<$3:5;$0!所以:5;$0$!所以9=<$#3$%19=<#09=<$所以9=<$#3$%1$9=<#39=<$%0$!所以9=<$#3$%19=<$#3$%$!19=<#9=<$%0$所以9=<$#3$%9=<#9=<$0$!因为$0(!#3$0(!($!所以9=<#0$所以;2<#0$!;2<$#3$%;2<#方法二)由9=<$#3$%:5;$0;2<$39=<#:5;$得(:5;$0;2<$3(:5;$等式两边同时乘以:5;$#3$%:5;#:5;$#3$%:5;#得;2<$#3$%:5;$:5;#0;2<$:5;$#3$%:5;#3;2<#:5;$:5;$#3$%!所以:5;$,;2<$#3$%:5;#1;2<#:5;$#3$%-0;2<$:5;$#3$%:5;#即:5;$;2<,$#3$%1#-0;2<$:5;$#3$%:5;#即:5;$0:5;$#3$%:5;#即:5;,$#3$%1#-0:5;$#3$%:5;#!所以:5;$#3$%:5;#3;2<$#3$%;2<#0:5;$#3$%:5;#所以;2<$#3$%;2<#0$!因为#3$0(!即;2<$#3$%0$所以;2<#0$!!&!%!(!$解析%因为'$1!所以'3!$#则不等式'#)'#3$%)3*%'3%)3*'-#''3!'等价于#%$#%$#)&'#)$'3!%#3*$'3!%3#)'-#''3!'等价于#)$'3!%33*-#!令50'3!则5$#'3!#%$!!!'#)533*-#!令&$5%0#)533*!由对勾函数的性质可得53$#!因为'&$5%'-#!5!55##$1#-%)3*-#&0%=3'>=0#即1#-&$5%-#所以令&)3*0=$%)3*%3>$')3*%则解得所%1#-')3*-#!%!0=3>%>01!以&)3*0#$%)3*%1$')3*%-%3#0(当且仅当)01%*0!时取等号故&)3*的最大值是(!四!解答题本题共'小题#共))分!解答应写出文字说明!证明过程或演算步骤!!&)!&!'!$解析%$!%因为&$'%0)4<'31'3!所以&?$'%011!………………………………#分#'#'#'##数学参考答案!第!&页!共页{#{QQABTQAEggCgQIIAABgCQQXiCAGQkACACKoOxAAIIAAACBNABAA=}#}')!&'由题意得&?$#%01即1101##解得)0#!……………………………………………………………………………………………………%分经检验)0#符合题意!所以)0#!…………………………………………………………………………'分!&$#%由$!%可知&$'%0#4<'31'3!&$'%的定义域为$$3>%…………………………………(分#'#$&'1!%$'1!%&?$'%01!…………………………………………………………………………………)分#'#!令&?$'%0$解得'!0'#0!!…………………………………………………………………………分&!!当$%'%时&$'%%$*当%'%!时&$'%&$*当'&!时&$'%%$&&!!所以&$'%在区间$和$!3>%上单调递减在区间!上单调递增!………………………!$分!&!&!所以&$'%的极大值为&$!%0$&$'%的极小值为&0#1#4<&!…………………………………!#分!&!!综上所述&$'%的单调递减区间为$$!3>%单调递增区间为!*&$'%的极大值为$极小值为!&!&