专题03 五大类立体几何题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用

专题03五大类立体几何题型-2024年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版）【题型1线面平行问题（刻度尺平移大法）】【题型2线面垂直问题（勾股定理妙解）】【题型3点面距离（体积求算）问题】【题型4线面夹角问题（两大法）】【题型5面面夹角问题（两大法）】基础工具：法向量的求算待定系数法：步骤如下：①设出平面的法向量为．②找出(求出)平面内的两个不共线的向量，．③根据法向量的定义建立关于的方程组④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）向量，是平面内的两个不共线向量，则向量是平面的一个法向量.特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.：线面平行问题线面平行：关键点①必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹②眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像）：中位线型如图=1\*GB2⑴，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点.求证：平面.分析：：构造平行四边形如图=2\*GB2⑵,平行四边形和梯形所在平面相交，//，求证：//平面.分析：过点作//交于，就是平面与平面的交线，那么只要证明//即可。：作辅助面使两个平面是平行如图⑶，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点，为的中点，证明：直线分析：：取中点，连接，只需证平面∥平面。：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ（如图）．求证：PQ∥平面CBE．如图=5\*GB2⑸，已知三棱锥，是,,的重心.(1)求证：∥面；（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。如图=6\*GB2⑹，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点．证明平面；分析：因为侧棱底面，底面是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。证明：如图，建立空间直角坐标系．设，则，．因为轴垂直与平面，故可设平面的法向量为=（0，1，0）则：=0因此，所以平面．如图，三棱柱中，为底面的重心，．(1)求证：∥平面；(2)若底面，且三棱柱的各棱长均为6，设直线与平面所成的角为，求的值．破解：（1）连接交于点，连接．因为为底面的重心，则，又因为，则，可知∥，因为平面平面，所以∥平面．（2）取的中点，连接．因为底面，且三棱柱的各棱长均为6，可知射线两两垂直，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，令，可得，可得，所以．如图，平行六面体中，分别为的中点，在上.(1)求证：平面；(2)若平面，求平面与平面的夹角的余弦值.破解：（1）证明：如图，设的中点为，连接.  ∵为的中点，∴且.又为的中点，且四边形是平行四边形，∴且∴四边形为平行四边形.∴.又∵平面平面，∴平面.（2）解：在平面中，作交于.∵平面，平面，平面，∴.∴两两互相垂直.分别以射线为轴､轴､轴的非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系，  在平行六面体中，由平面得平行四边形是矩形.根据已知可得，..由平面得是平面的法向量.设是平面的法向量，则取，得.∴是平面的法向量∴.设平面与平面的夹角为，则.平面与平面的夹角的余弦值为.如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．  (1)若，证明：平面；(2)若二面角的正弦值为，求BQ的长．破解：（1）证明：取的中点M，连接MP，MB．在四棱台中，四边形是梯形，，，又点M，P分别是棱，的中点，所以，且．在正方形ABCD中，，，又，所以．从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面；（2）在平面中，作于O．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面．在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则．以为正交基底，建立空间直角坐标系．因为四边形是等腰梯形，，，所以，又，所以．易得，，，，，所以，，．  ：设，所以．设平面PDQ的法向量为，由，得，取，另取平面DCQ的一个法向量为．设二面角的平面角为θ，由题意得．又，所以，解得（舍负），因此，．所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．：设，所以．设平面PDQ的法向量为，由，得，取，另取平面DCQ的一个法向量为．设二面角的平面角为θ，由题意得．又，所以，解得或6（舍），因此．所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．  ：在平面中，作，垂足为H．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以．在平面ABCD中，作，垂足为G，连接PG．因为，，，PH，平面，所以平面，又平面，所以．因为，，所以是二面角的平面角．在四棱台中，四边形是梯形，，，，点P是棱的中点，所以，．设，则，，在中，，从而．因为二面角的平面角与二面角的平面角互补，且二面角的正弦值为，所以，从而．所以在中，，解得或（舍）．所以当二面角的正弦值为时，BQ的长为1．1．如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点．求证：平面；【详解】∵直三棱柱中，为的中点，所以，且，因为，分别，的中点，∴，，，，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，故平面.2．如图，在四棱锥中，平面，，为棱的中点．求证：//平面；【详解】取中点为，连接，如下所示：在△中，因为分别为的中点，故//；又，故//，则四边形为平行四边形，//；又面面，故//面.3．如图，在四棱锥中，平面，，，．  (1)求证：平面；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小．条件①：；条件②：平面．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)证明见解析(2)所选条件见解析，【详解】（1）如图，连接AC，因平面，平面，则，.又，则.注意到，则为等腰直角三角形，其中，.所以，又因为，平面，，所以平面；（2）若选条件①，由余弦定理可得，，结合为三角形内角，得，又，则，即.若选条件②，因平面，BC平面，平面平面，则，又，则，即.故建立以A为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系（轴所在直线与DC平行）又，，则，则，，.平面法向量为，设平面法向量为，则.令，则，所以，设面与平面所成角为，，根据平面角的范围可知.  4．如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，，是长度为的底面圆的两条直径，，且，为母线上一点．求证：当为中点时，平面；【详解】连接，因为，分别为，的中点，所以为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面；5．如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点.，.证明：平面，且；【详解】因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，在中，，所以，且，因为，，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，6．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面，，是的中点，作交于．  求证：平面；【详解】连接交于点，连接，  四边形为正方形，为中点，又为中点，，平面，平面，平面.7．在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，.(1)证明：四边形ABCD为菱形；(2)E为棱PB上一点（不与P，B重合），证明：AE不可能与平面PCD平行.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】（1）（1）证明：连接AC，BD，设，因为底面ABCD为平行四边形，则O为AC，BD的中点.因为，所以又，，平面PBD，平面PBD，所以平面PBD，又平面PBD，所以，所以四边形ABCD为菱形.（2）（2）方法一：（反证法）假设平面PDC，因为，平面PCD，平面PCD，所以平面PDC，又平面PAB，平面PAB，，所以平面平面PDC，这显然与平面PAB与平面PDC有公共点P所矛盾.所以假设错误，即AE不可能与平面PCD平行.方法二：∵平面PAB，平面PCD，∴平面PAB与平面PCD必相交，可设平面平面，又∵，平面PCD，平面PCD，∴平面PCD，又∵平面PAB，平面平面，∴又∵平面PAB，且不与重合，∴AE必与l相交∵面PCD，∴AE必与平面PCD相交，∴AE不可能与平面PCD平行.8．如图，在平行六面体中，，，，，点为中点．  证明：平面；【答案】(1)证明见详解(2)【详解】（1）连结，交于点，连结，在平行六面体中，，是的中点，所以四边形是平行四边形，又点为中点，则且，所以四边形是平行四边形，从而，因为平面，，所以平面.（2）以为原点建立如图所示的坐标系，  则，，设点为，其中，则，，，因为，，，所以，即，解得，则，则，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量，则，令，则，设二面角为，则，所以，则，所以二面角的正弦值为.线面垂直问题（勾股定理妙解）必记结论：①特殊的平行四边形边长之比1:2，夹角为，则对角线与边垂直②特殊的直角梯形边长之比1:1:2,对角线与腰垂直③等腰三角形三线合一，三线与底垂直④直径所对的圆周角为直角⑤菱形和正方形：对角线互相垂直⑥特殊的矩形：边长之比1:2或1：有明显的直角关系要证线面垂直，只需让线垂直于平面内两条相交直线即可如：要证平面；第一步：表示,表示（）中的两个第二步：如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．求证：平面．证明：第一步：已知直线垂直于平面中某一直线（利用结论直接出答案）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.第二步：求算平面中某一直线垂直于已知直线又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD.又因为所以BD⊥平面PAC.如图，在三棱柱中，平面，.求证：平面；证明：第一步：已知直线垂直于平面中某一直线（利用结论直接出答案）因为，所以第二步：求算平面中某一直线垂直于已知直线在三棱柱中，由平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，交线为.又因为，所以，所以平面.因为平面，所以又，所以平面.三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点．求证：平面． 证明：第一步：已知直线垂直于平面中某一直线（利用结论直接出答案）三棱柱中，侧棱与底面垂直，四边形是正方形．．．第二步：求算平面中某一直线垂直于已知直线 连接，，．，又是的中点，．与相交于点，平面．1．在长方体中，是上的点,，且的长成等比数列，又是所在的直线上的动点.  (1)求证：平面【详解】如图，  连接交于点，在长方体中，有面，因为面，所以，又因为的长成等比数列，所以的长成等比数列，即，注意到，所以，从而，又因为，所以，从而，又因为，平面，所以平面，因为平行且等于，平行且等于，所以平行且等于，即四边形是平行四边形，所以，又因为平面，所以平面.2．如图，在三棱柱中，平面，是的中点，是边长为的等边三角形．证明：．【详解】因为是边长为的等边三角形，所以，，因为为中点，所以，所以为等腰三角形，所以，所以，所以，又因为平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，因为平面，所以；3．如图，在三棱台中，平面平面.证明：平面；【详解】由于平面平面且交线为,又平面，所以平面平面故，又平面,故平面4．如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．(1)证明：∥平面，且，，，四点共面；(2)证明：平面平面；【详解】（1）因为F，G分别为的中点，所以，又平面CFG，平面，所以平面．连接HE，在中，，所以，且，因为，，所以，且，所以四边形为平行四边形．所以，又，所以，故C，E，F，G四点共面．（2）由题意可知，，，，所以，故．又平面，平面，所以，又平面，故平面，又平面，所以平面平面．5．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面侧面，为中点，是上的点，，．求证：平面平面；【详解】平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，；四边形为正方形，，，平面，平面，平面，平面平面.6．如图，四棱锥，平面平面为中点．证明：平面平面；【详解】证明：根据题意