2024届四川省绵阳南山中学高三下学期4月三诊热身考试文科数学答案

绵阳南山中学高2021级高三下期绵阳三诊热身考试数学（文科）参考答案：1-5DDCBD6-10ACAAC11．A12．B38313．314．{a|a≤0}15．216．π23717．(1)没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异(2)1022100×20×20-20×4025【详解】(1)根据列联表中的数据，得χ==≈2.778<40×60×40×6093.841，所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异(2)这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，则抽取的男生有3人，女生有2人，设男生为A1，A2，A3；女生为B1，B2．则从这5人中选出2人的组合有A1,A2，A1,A3，A1,B1，A1,B2，A2,A3，A2,B1，A2,B2，A3,B1，A3,B2，B1,B2共10种，其中至少有1人为女生的组合有A1,B1，A1,B2，A2,B1，A2,B2，A3,B1，A3,B2，B1,B2共7种，7故所求概率为P=.1018．(1)证明见解析(2)20233an12an+1112【详解】(1)∵an+1=，∴==⋅+，2an+1an+13an3an3111211可得-1=⋅+-1=-1，an+13an33an312121又由a1=，所以-1=，则数列-1表示首项为，公比为的等比数列.5a13an33121n-11n11n(2)由(1)可得-1=×=2⋅，所以=2⋅+1.an333an31设数列的前n项和为Sn，an11111111则Sn=+++⋯+=2+2+3+⋯+n+na1a2a3an3333n11-1331=2×+n=n+1-n，1-13311若Sn<2024，即n+1-<2024，因为函数y=x+1-为单调递增函数，3n3x所以满足Sn<2024的最大整数n的值为2023.1319．(1)证明见解析(2)a．32【详解】(1)在三棱锥B-AEF中，答案第1页共4页{#{QQABIQAAggAgAIBAABgCUQGyCEEQkBECAKoOxAAEoAAByQFABAA=}#}因为AB⊥BE，AB⊥BF，BE∩BF=B，BE,BF⊂面BEF,所以AB⊥面BEF．又EF⊂平面BEF，所以AB⊥EF；(2)因为在△ABF中，M、N分别为AB、BF的中点，3所以四边形AMNF的面积是△ABF面积的．4又三棱锥E-ABF与四棱锥E-AMNF的高相等，3所以，四棱锥E-AMNF的体积是三棱锥E-ABF的体积的，43因为V=V，所以V=V．E-ABFA-BEFE-AMNF4A-BEF11113因为V=S×AB=××BE×BF×AB=a．A-BEF3△BEF32243131313所以V=×a=a，故四棱锥E-AMNF的体积为a．E-AMNF424323220．(1)f1=2e(2)2x【详解】(1)当a=e时，fx=e-elnx+e，xe所以fx=e-,x∈0,+∞，x易知fx在0,+∞上单调递增，且f1=0，所以当x∈0,1时，f(x)<0,fx在0,1上单调递减，当x∈1,+∞时，fx>0,fx在1,+∞上单调递增，所以fx在x=1处取得极小值f1=2e.exx(2)因为a>0，所以fx≥ka恒成立等价于-ln≥k恒成立.aaxxxexe1e1设gx=-ln，则gx=-，易知gx=-在0,+∞上单调递增，且aaaxax当x→0时，gx→-∞，当x→+∞时，gx→+∞，x0x0e1e1所以gx在0,+∞内存在唯一零点x0，即gx0=-=0,=*，ax0ax0当x∈0,x0时，gx<0,gx在0,x0上单调递减，当x∈x0,+∞时，gx>0,gx在x0,+∞上单调递增，所以g(x)min=gx0.结合*式，可知：xxxe0x0e011e01gx0=-ln=+ln+lna=+ln+lna=+x0≥2，aaax0x0ax0当且仅当x0=1,a=e时取等号，即当a=e时，gx的最小值为2，要使gx≥k恒成立，须k≤2，即k的最大值为2.x2y2x2y221．(1)椭圆C所在的标准方程为+=1，双曲线C所在的标准方程为-11612222=1CD⋅HF22(2)是定值，为，理由见解析BE⋅GF24答案第2页共4页{#{QQABIQAAggAgAIBAABgCUQGyCEEQkBECAKoOxAAEoAAByQFABAA=}#}x2y2【详解】(1)设椭圆所在的标准方程为+=1a>b>0，a2b2x2y2双曲线所在的标准方程为-=1m>0,n>0，m2n2a2-b2=4m2+n2=4因为A22,6,F-2,0,F2,0，所以可得，，128+6=18-6=1a2b2m2n2a2=16m2=2x2y2解得，，所以椭圆C所在的标准方程为+=1，双曲线C所在的b2=12n2=2116122x2y2标准方程为-=1；22CD⋅HF22(2)是定值，为，理由如下，BE⋅GF24x2y2由(1)椭圆所在的标准方程为+=1，1612x2y2双曲线所在的标准方程为-=1，22因为直线BE与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，所以直线BE的斜率不为0，设直线BE的方程为x=my+2，Bx1,y1,Ex2,y2,Cx3,y3,Dx4,y4，x2y2双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，所以m≠±1，22x+xy+yx+xy+y可得G34,34，H12,12，2222x=my+2直线BE的方程与椭圆方程联立2y2，整理得x+=11612223m+4y+12my-36=0，-12m-36所以y+y=,yy=，123m2+4123m2+4222144m144m+1所以y1-y2=y1+y2-4y1y2=22+2=2422，3m+43m+43m+4x=my+2直线BE的方程与双曲线方程联立2y2，整理得x-=12222m-1y+4my+2=0，-4m2所以y+y=,yy=，34m2-134m2-122216m8m+1所以y3-y4=y3+y4-4y3y4=22-2=2222，m-1m-1m-1y1+y2CD⋅HF2CDHF2y-y2所以=⋅=34⋅BE⋅GF2BEGF2y1-y2y3+y42答案第3页共4页{#{QQABIQAAggAgAIBAABgCUQGyCEEQkBECAKoOxAAEoAAByQFABAA=}#}222m+112m222m-13m+42CD⋅HF22=×=，所以是定值.2m+14m4BE⋅GF24242223m+4m-1x2y222．(1)+=1，x-y+4=0(2)10+22182x=3cosα+3sinαx22【详解】(1)由(α为参数)得+y=2，y=cosα-sinα3x2y2即曲线C的普通方程为+=1.182π由ρsinθ-=22得ρsinθ-ρcosθ=4，则直线l的直角坐标方程为y-x=4，即x4-y+4=0.(2)设曲线C任一点P32cosθ,2sinθ，32cosθ-2sinθ+4则点P到直线l的距离d==3cosθ-sinθ+222=sinθ-3cosθ-22=10sinθ-φ-22(tanφ=3)，∴当sinθ-φ=-1时，dmax=10+22，1∴△PAB面积的最大值为×2×10+22=10+22.2323．(1)x-2≤x≤；(2)证明见解析.2【详解】(1)当x<-1时，fx=-3x+1≤5-x，解得-2≤x<-1；当-1≤x≤1,fx=-x+3≤5-x，得-1≤x≤1；3当x>1时，fx=3x-1≤5-x，可得14；当-1≤x≤1时，fx=-x+3≥2；当x>1时，fx=3x-1>2，则fx的最小值为2，即M=2.故a+b=2,0