湖北省第九届2024届高三下学期4月调研模拟考试(三模)数学答案

湖北省第九届高三（4月）数学答案1234567891011DBDADCADBDBDABC112.113.(2.25，4)14.−315．解：(1)在三棱柱퐴퐵퐶−퐴1퐵1퐶1中，四边形퐴1퐴퐶퐶1是平行四边形，而퐴퐶=퐴퐴1，则平行四边形퐴1퐴퐶퐶1是菱形，连接퐴1퐶，如图，则有퐴1퐶⊥퐴퐶1，因퐴1퐵⊥퐴퐶1，퐴1퐵∩퐴1퐶=퐴1，퐴1퐵，퐴1퐶⊂平面퐴1퐵퐶，于是得퐴퐶1⊥平面퐴1퐵퐶，…………………………………………………3分∘而퐵퐶⊂平面퐴1퐵퐶，则퐴퐶1⊥퐵퐶，由∠퐴퐶퐵=90，得퐴퐶⊥퐵퐶，퐴퐶∩퐴퐶1=퐴，퐴퐶，퐴퐶1⊂平面퐴1퐴퐶퐶1，从而得퐵퐶⊥平面퐴1퐴퐶퐶1，……………………………………………………………………………6分又퐵퐶⊂平面퐴퐵퐶，所以平面퐴1퐴퐶퐶1⊥平面퐴퐵퐶．…………………………………………………7分(2)方法一：在平面퐴1퐴퐶퐶1内过퐶作퐶푧⊥퐴퐶，由(1)知平面퐴1퐴퐶퐶1⊥平面퐴퐵퐶，平面퐴1퐴퐶퐶1∩平面퐴퐵퐶=퐴퐶，则퐶푧⊥平面퐴퐵퐶，以퐶为原点，以射线퐶퐴，퐶퐵，퐶푧分别为푥，푦轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，…8分∘因∠퐴1퐴퐶=60，퐴퐶=퐴퐴1=4，퐵퐶=2，则퐶(0,0,0)，퐴(4,0,0)，퐵(0,2,0)，퐴1(2,0,2√3)，푃(2,0,0)则有퐵⃗⃗⃗⃗⃗퐴⃗⃗⃗1=(2,−2,2√3)，퐵푃⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−2,0)，푛⃗⃗⋅퐵퐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1=2푥−2푦+2√3푧=0푦=푥设平面퐵퐴1푃的一个法向量푛⃗=(푥,푦,푧)，则有{，解得：{푛⃗⃗⋅퐵푃⃗⃗⃗⃗⃗=2푥−2푦=0z=0令푥=1得푛⃗⃗=(1,1,0)，而平面퐴1퐴퐶퐶1的一个法向量푚⃗⃗⃗=(0,1,0)，……………………………10分|푛⃗⃗·푚⃗⃗⃗|12依题意，|cos<푛⃗⃗，푚⃗⃗⃗>|===√|푛⃗⃗||푚⃗⃗⃗|√22√2设平面퐵퐴1푃和平面퐴1퐴퐶퐶1的夹角的夹角是θ，则cosθ=|cos<푛⃗⃗，푚⃗⃗⃗>|…………………12分20，=24휋所以平面퐵퐴푃和平面퐴퐴퐶퐶的夹角是．…………………………………………………………13分1114方法二：由（1）知BC⊥平面A1ACC1，而A1P平面A1ACC1高三数学答案第1页（共5页）{#{QQABLQKAggioAJAAARgCQQUQCgOQkACCAKoOAFAEoAABiBFABAA=}#}A1P⊥BC在等边△A1AC中，P为AC的中点，A1P⊥AC又BCAC=C…………………………………………………………………………………9分A1P⊥平面ABC又PC,PB在平面ABC内CP⊥A1P,BP⊥A1P……………………………………………………11分BPC即为二面角B−A1P−C的平面角在Rt△BCP,CB=CD=2,BPC=4휋所以平面퐵퐴푃和平面퐴퐴퐶퐶的夹角是．…………………………………………………………13分111416．解：(1)样本中总共100人，其中旅游支出均不低于10000元的有33人，所以从中随机抽取两位市2퐶3333×328民的旅游支出数据，两人旅游支出均不低于10000元的概率为푃=2==；………4分퐶100100×9975−34811412085(2)(푖)计算푥=1×+3×+5×+7×+9×+11×+13×+15×=9，100100100100100100100100所以휇=9，휎=3，푋服从正态分布푁(9,32)，……………………………………………………6分11푃(푋≥15)=푃(푋≥9+2×3)=×[1−푃(9−6≤푋≤9+6)]≈×(1−0.9545)=0.02275，22…………………………………………………………………………………………………………8分500×0.02275=11.375(万)，估计襄阳市有11.375万市民每年旅游费用支出在15000元以上；………………………………9分1(ⅱ)由(푖)知，휇=9000，则푃(푋>9000)=，………………………………………………………10分2所有可能的取值为0，1，2，3.11113푃(휉=0)=퐶0⋅(1−)3=，푃(휉=1)=퐶1⋅⋅(1−)2=，328322811311푃(휉=2)=퐶2⋅()2⋅(1−)=，푃(휉=3)=퐶3⋅()3=；3228328所以随机变量휉的分布列为：휉01231331푃8888…………………………………………………………14分13均值为퐸(휉)=3×=．……………………………………………………………………………15分22高三数学答案第2页（共5页）{#{QQABLQKAggioAJAAARgCQQUQCgOQkACCAKoOAFAEoAABiBFABAA=}#}12푎푥[푥−(−1)]17．解：(1)由题知，函数푓(푥)的定义域为(−1,+∞)，푓′(푥)=2푎，………………………2分1+푥11 ①当0<푎<时，有−1>0，22푎11所以，푓(푥)在(−1,0)上单调递增，푓(푥)在(0,−1)上单调递减，푓(푥)在(−1,+∞)上单调递增；2푎2푎…………………………………………………………………………………………………………4分11푥2 ②当푎=时，有−1=0，푓′(푥)=≥0，22푎1+푥所以푓(푥)在(−1,+∞)上单调递增；…………………………………………………………………6分11 ③当푎>时，有−1<−1<0，22푎11所以，푓(푥)在(−1,−1)上单调递增，푓(푥)在(−1,0)上单调递减，푓(푥)在(0,+∞)上单调递增．2푎2푎…………………………………………………………………………………………………………8分1(2)由(1)知：当푎=时，푓(푥)在(0,1)上单调递增，2푥2所以，当푥∈(0,1)时，푓(푥)>푓(0)=0，即>푥−ln(1+푥)=푔(푥)，………………………13分2휋훼∈(0,)，sin훼∈(0,1),cos훼∈(0,1),2sin2훼+cos2훼1所以푔(sin훼)+푔(cos훼)<=.……………………………………………………………15分222푖√3푖18．解：(1)设푀(푥,푦)，又퐴(,0)，퐵(2,√3−)(푖=1,2,3⋯,푛−1)，푖푖푛푖푛√3푛则直线퐸퐴:푦+√3=푥，①푖2푖√3푖直线퐺퐵:푦−√3=−푥，②………………………………………………………………………3分푖2푛3点푀(푥,푦)的坐标是方程①②的解，①×②可得(푦+√3)(푦−√3)=−푥2，푖4푥2푦2化简得+=1，43푥2푦2所以푀(푥,푦)在同一个椭圆上，该椭圆方程为+=1．………………………………………6分푖4322(2)设퐴(푥1,푦1)，퐵(푥2,푦2)，푃(푥0,푦0)，则푥0+푦0=7，푥푥푦푦푥푥푦푦切线푃퐴方程为：1+1=1，切线푃퐵方程为：2+2=1，两直线都经过点P，4343푥푥푦푦푥푥푦푦푥푦所以得：10+10=1，20+20=1，从而直线퐴퐵的方程是：0푥+0푦=1，……………8分4343432当푦0=0时，푥0=7푥0푥=14296由{푥2푦2得푦=，则|퐴퐵|=|y1−y2|=+=17√7431649S=(7−)=…………………………………………………………………………9分2777当푦0≠0时，高三数学答案第3页（共5页）{#{QQABLQKAggioAJAAARgCQQUQCgOQkACCAKoOAFAEoAABiBFABAA=}#}푥푦0푥+0푦=143222由{푥2푦2，消푦得：(푦0+21)푥−24푥0푥+48−16푦0=0，+=143224푥048−16푦0由韦达定理，得：푥1+푥2=2，푥1푥2=2，……………………………………………11分푦0+21푦0+21228|푦0|√푦0+924푥0248−16푦0，|푥1−푥2|=√(2)−4⋅2=2푦0+21푦0+21푦0+21228|푦0|√푦0+923푥029푥02√7(푦0+9)，|퐴퐵|=√1+(−)⋅|푥1−푥2|=√1+2⋅2=24푦016푦0푦0+21푦0+2122푥0푦02|+−1|√푦0+9点P到直线퐴퐵的距离푑=43=，푥푦7√(0)2+(0)2√431127(y2+9)y2+9(y2+9)3000其中2…………………分S=ABd=2=20<푦0≤71422y0+217y0+21푡3푡3푡4+36푡2令푡=√푦2+9，则푡∈(3,4]，∴푆=，令푓(푡)=，则푓′(푡)=>0，0△푃퐴퐵푡2+12푡2+12(푡2+12)2916∴푓(푡)在푡∈(3,4]上单调递增，f(t),.………………………………………………16分77916综上所述，△푃퐴퐵面积的取值范围是,.……………………………………………………17分7719．解：(1)由题意，可知푎31=푎11+푚×(3−1)=2푚+2，푎32=푎31·푚=(2푚+2)푚=2푚(푚+1)，푎41=푎11+푚×(4−1)=3푚+2，11∵푎=푎+2，∴3푚+2=×2푚(푚+1)+2，412322化简整理，得푚2−2푚=0，解得푚=0(舍去)，或푚=2，………………………………………………………………………4分∴푎=푎+푚×(5−1)=2+2×4=10，511122∴푎53=푎51·푚=10×2=40，……………………………………………………………………5分j−1j−1j（2）aij=ai12=2+(i−1)22=i2……………………………………………………6分jjj1j−12j−22j−1j−1j∴anj=n2=n(3−1)=n3+cj3(−1)+cj3(−1)++cj3(−1)+(−1)=n3m+(−1)j=3nm+n(−1)jj∴bnj等于n(−1)除以3的余数.…………………………………………………………………7分当j为奇数时n(−1)j=−n.①n=3k−2(kN*)时，−n=−(3k−2)=−3k+2，b(3k−2)j=2②n=3k−1(kN*)时，−n=−(3k−1)=−3k+1，b(3k−1)j=1高三数学答案第4页（共5页）{#{QQABLQKAggioAJAAARgCQQUQCgOQkACCAKoOAFAEoAABiBFABAA=}#}③n=3k(kN*)时，−n=−3k，b(3k)j=0………………………………………………………8分当j为偶数时n(−1)j=n.①n=3k−2(kN*)时，n=3k−2=3(k−1)+1，b(3k−2)j=1②n=3k−1(kN*)时，n=3k−1=3(k−1)+2，b(3k−1)j=2③n=3k(kN*)时，n=3k+0，b(3k)j=0……………………………………………………9分c=b+b++b=(2+1)+(2+1)++(2+1)+2=3(3m−3)+2=9m−76m−5(6m−5)1(6m−5)2(6m−5)(6m−5)3m−3个c=b+b++b=(1+2)+(1+2)++(1+2)+(1+2)=3(3m−2)=9m−66m−4(6m−4)1(6m−4)2(6m−4)(6m−4)3m−2个c6m−3=b(6m−3)1+b(6m−3)2++b(6m−3)(6m−3)=0+0++0=0c=b+b++b=(2+1)+(2+1)++(2+1)=3(3m−1)=9m−36m−2(6m−2)1(6m−2)2(6m−2)(6m−2)3m−1个c=b+b++b=(1+2)+(1+2)++(1+2)+1=3(3m−1)+1=9m−26m−1(6m−1)1(6m−1)2(6m−1)(6m−1)3m−1个c6m=b(6m)1+b(6m)2++c(6m)(6m)=0+0++0=0………………………………………1