浙江省稽阳联谊学校2024届高三下学期4月联考数学答案

2024年4月稽阳联考数学科评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-4．ADBC5-8．CBCD1．【解析】当时，，位于第二象限，正确选项为A．2．【解析】，故，正确选项为D．3．【解析】由二项式定理展开，中的常数项为．4．【解析】，即，而，即 ，由，则“”是“”的充分不必要条件．5．【解析】如图，在两圆及其内部的范围内，故得最大值为4． 6．【解析】设数列，，由成等比数列，公比为2，则，，故由成等差数列，得，2两13铢需要放置一枚2两，一枚12铢，一枚1铢的环权，故需要3枚． 7．【解析】样本偏度反应数据偏离方向与程度，由图表可得，有比较多的小于样本均值的数据，当右侧有长尾时，受极端值影响，，而样本方差，则．8．【解析】取，则，故，选项A正确． 取，则，则，选项B正确． 取，则，则， 取，，，则是奇数，选项C正确． 取函数，符合题目条件，但此时无最小值，故选项D错误．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．AC 10．BCD 11．ACD9．【解析】关于中心对称，故A正确； 令，解得或，所以极小值为，极大值为，故只有唯一解，B错误；在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，故C正确；过点作的切线，有2条，故D错误．10．【解析】由，则，若时，为等差数列，B正确；若时，，则，则，故A错误； 若，，，故C正确； 若，，，故D正确．11．【解析】对选项A，取中点分别为，再取中点为，则,球内切于棱台，则点即为梯形内切圆心，易知为SR中点，且均为角平分线，故，则，故球的表面积，故A正确． 对选项B，由上述分析可得，，则正四棱台侧棱． 作，垂足为，则为三等分点（靠近）． 设，由勾股定理即得，则，的外接圆心为三等分点（靠近），则三棱锥的外接球球心满足，显然，故三棱锥的外接球球心不可能为，故B错误． 对选项C，若直线面，作，垂足为，则的轨迹为以为直径的圆，圆所在的平面与垂直，又点为侧面上一点（含边界），取中点，作，垂足为，此时． 对选项D，平面与球的截面为圆，半径满足，故只需找离最远的平面即可，显然观察四个顶点即可，其中取时为同一平面，此时显然离较近． 当取时，作，垂足为，则OF⊥平面PBC1，； 当取时，作，垂足为，则OG⊥平面PBC1，，故，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（填也对） 13． 14．12．【解析】由，几何意义为平行四边形的两条对角线互相垂直，即菱形，故．由，，容易得，则，均可．13．【解析】，当且时等号成立．14．【解析】与轴的交点为，．根据阿波罗尼斯圆的定义，得到,又,则，因为,代入，得到，在中，余弦定理得到，解得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）【解析】（Ｉ）选①：,即,又，则,又,故．--------------------------------------------------------------6分选②：，即，所以，解得，故．---------------------------------------------------------------------------------------6分选③：,则，所以，故． ------------------------------------------6分（Ⅱ）,所以,--------------------------------------------------------------8分又,故．-------------------------------------------------------------------------------------------------------10分又,-----------------------------------------12分所以．----------------------------------------------------------------------------------------------------13分16．（本小题满分15分）【解析】 （Ｉ）取中点，连接，因为，所以．又因为面面，且面面，所以．-------------------------------------------------------3分面，所以，又因为，且，所以，所以，又，所以．----------------------------------------------6分（Ⅱ）因为在直角梯形中，,,，易求得,又,，所以三角形为等边三角形，-----------------------------8分如图，以为原点建立直角坐标系,,,,----------------------------------------------------------9分因为是中点，所以点坐标为所以---------------------------------------------------------------------------------------------10分,设面BDF的法向量为,,即则可取-----------------------------------------------------13分所以．----------------------------------------------------------------------15分17．（本小题满分15分） 【解析】 （Ｉ）若，设抽取次中抽中黑球的次数为， 则，故．------------------------------------------------------4分 由，，故最大值为或，即．--------------------------7分 （Ⅱ）（i）,-------------------------------------------9分 ，-----------------------------------------------------10分 ，（写出一个2分，后面2个每个1分）----11分 （ii）由（i）可进行猜测，抽取次中恰有2次抽中的黑球的概率与抽球次序无关， 则．---------------------------------15分18．（本小题满分17分）【解析】（Ｉ）因为，线段是抛物线的通径，，得到．抛物线方程为．---------------------------------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）（i）因为，在以为直径的圆上，得到．设，则，直线方程为； ，所以．方程为，直线过定点；-------------------------------------------------8分（ii）设，为的角平分线，则;，整理得；因为，解得；------------------------------------------------------------------------------10分即，不妨设，因为，则，同理;直线的方程为，与直线的交点横坐标，同理,--------------------------------------------12分,，，，-------------------------15分令，则，，当且仅当，取到最大值．------------------------------------------------------------------------------17分19．（本小题满分17分） 【解析】 （Ｉ）当时，，．------------------------------------------2分 由，则易知在单调递增，且．故时，，单调递减，时，，单调递增． 则的最小值为．----------------------------------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）若在定义域内单调递增，则在上恒成立． ，令， 则且可知．------------------------------------------------------------8分 下证时，． 由关于单调递增，则， 令，则， 故在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增，． 综上所述，时，在定义域上单调递增．---------------------------------------------------11分（Ⅲ），，则在上单调递增，且存在唯一，使得，故在上单调递减，上单调递增，其中，且由，则． 而，故存在唯一极大值点与极小值点，满足．又，则．由，故．---------------------------------------------------------------14分，令，，则，，.．-------17分