山西省太原市2024届高三下学期模拟考试（二）数学答案

太原市2024年高三年级模拟考试（二）数学参考答案及评分建议一.选择题：BDCABCAC二.选择题：BCBCACD232三.填空题:12.[1,)13.166,4514.(,)22四．解答题：15.解：（1）当密码中只有一个数字出现三次且其余两个数字各出现一次时，则其不同种数为132，C3C5A260当密码中有两个数字各出现两次且另一个数字出现一次时，则其不同种数为2221，C3C5C3A190该款行李箱密码的不同种数6090150.………5分（2）由题意得X所有可能的取值为1,2,3，C1C3A2C2C2A1707C1C2C2A1602P(X1)252531，P(X2)2531，150150151501505C3A2202P(X3)52，………11分15015015X的分布列为X123P722155157225E(X)123.………13分15515316.解：（1）由题意过点D(2,1)且斜率为1的直线方程为y1x2，即yx1，令y0，则x1，点F的坐标为(1,0)，………4分p1，p2，抛物线C的方程为y24x.………7分2（2）由（1）得抛物线C:y24x，假设存在定点M(m,0)，设直线的方程为，，ABxtym(tR)A(x1,y1),B(x2,y2)xtym,由得2,，，………10分2y4ty4m0y1y24ty1y24my4xOAOB，OAOB0，22OAOBx1x2y1y2(ty1m)(ty2m)y1y2(t1)y1y2tm(y1y2)m4m(t21)4mt2m2m24m0，m4或m0（舍去），………14分当m4时，点M的坐标为(4,0)，满足OAOB，存在定点M(4,0).………15分17.解：（1）延长FE交HM的延长线于点N，连接DN，取AE的中点K，连接KH，1EF//AB，H是BF的中点，KH//EF，且KH(ABEF)6，………2分2G,H分别是BC,BF的中点，GH//CF，GH//平面CDEF，GH//DN，CF//DN，ABCD是正方形，AB//CD//EF，CDNF是平行四边形，………6分EMNENFEF42KH//NE，，MKKHKH63EM21；………8分MA534（2）取AD的中点O，连接OE，△ADE是正三角形，OEAD，平面ADE平面ABCD，OE平面ABCD，………9分以O为原点，OA,OG,OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐4163标系，则O(0,0,0)，D(4,0,0)，B(4,8,0)，C(4,8,0)，M(,0,)，558x8y0,mDB,11设是平面的一个法向量，则m(x1,y1,z1)BDM24163mDM,x1z10,55取，则，，………11分z13x12,y12m(2,2,3)8y0,2设是平面的一个法向量，则nDC,n(x2,y2,z2)CDM24163nDM,x2z20,55取，则，，………13分z3x22,y20n(2,0,3)mn777cosm,n，|m||n|1171177平面BDM与平面CDM夹角的余弦值为.………15分111118.解：（1）当a1时，f(x)1ln(x1)，f(1)ln2，x2xf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为yf(1)f(1)(x1)，即yf(1)(x1)f(1)(ln2)x23ln2；………4分ax2x（2）f(x)在(0,)上有零点等价于h(x)ln(x1)在(0,)上有零点，x1x(ax2a1)则h(x)，x(0,)，………7分(x1)2x(ax2a1)①当a0时，h(x)0，h(x)在(0,)上递减，(x1)2h(x)h(0)0，h(x)在(0,)上无零点，a0不合题意；………10分11②当a0时，（ⅰ）当20时，即a时，a21ax(x2)x(ax2a1)h(x)a0，h(x)在(0,)上递增，x1x11h(x)h(0)0，h(x)在(0,)上无零点，a不合题意；………12分2111（ⅱ）当20时，即0a时，令h(x)0，则x2，a2a11令h(x)0，则0x2；令h(x)0，则x2，aa111h(x)在(0,2)上递减，在(2,)上递增，h(2)h(0)0，………14分aaa2112取x(2)时，eax0(x1)1axa2x(x1)0a2a00200121a2xxx(a2x2)0，axln(x1)，20020000ax2xax2ax0000，h(x0)ln(x01)ln(x01)ax0ln(x01)0x01x0111x(2,x)，使得f(x)0，0a符合题意；1a0121综上，a的取值范围为(0,).………17分219.解：（1）由题意得a(bc)(bc)a[(bc)a](baca)bacaabac；………6分1111（2）设AEB(0)，S[EFG](EFEG)[(EAEC)(EDEB)]222211[(EAEC)(EDEB)](EAEDEAEBECEDECEB)88111(EAEBECED)(EAEBEDEC)(S[EAB]S[EDC])，884四边形ABCD的面积等于△EFG的面积的4倍；………12分（3）证明：i(1,0)，j(0,1)，iijj0，ij1,ji1，，，，，，A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)AB(x2x1)i(y2y1)jAC(x3x1)i(y3y1)j11S[ABC](ABAC){[(xx)i(yy)j][(xx)i(yy)j]}222121313111[(xx)(yy)(yy)(xx)](xyxyxyxyxyxy)，22131213121223312132131△ABC面积为|xyxyxyxyxyxy|.………17分2122331213213注：以上各题其它解法请酌情赋分.