武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学答案

武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学试卷参考答案及评分标准选择题：题号1234567891011答案DBCADBCBBDACDBCD填空题：125312.1213.1314.−108解答题：15.（13分）解：（1）由题意，coscCAos=，得：3sincossincoscossinBCACAC−=.sin3sinCBAsin−所以3sincossincoscossinsin()BCACACAC=+=+.又sin()sin()sinACBB+=−=，且sin0B，所以cosC=1.3由sin0C，故sinCC=1−cos2=22.…………6分3（2）S==1absinC52，所以ab=15.2由余弦定理，c2=a2+b2−2abcosC=a2+b2−10.又c2=6(a−b)2=6(a2+b2)−180.联立得：ab22+=34，c=26.a+b=a22+b+28ab=.所以ABC的周长为abc++=8+26.…………13分16.（15分）解：（1）a=−1时，f(x)=lnx+x+x2，f'(x)=1+1+2x.xf'(1)=4，f(1)=2.所求切线方程为yx=4(−1)+2，整理得：yx=−42.…………5分2（2）f'(x)=1−a+2x=2x−+ax1.xx因为x0，故a0时，fx'()0，fx()在(0,+)上递增.当a0时，对于y=21x2−ax+，=a2−8.若0a22，则0，此时fx'()0，fx()在(0,+)上递增.22aa−8若a22，令2x−ax+1=0，得x=0.4aa−−28aa+−280x时，fx'()0，fx()递增；x时，fx'()0，fx()递增；44a−a22−88a+a−x时，fx'()0，fx()递减；44综上所述：a22时，fx()在(0,+)上递增；aa−−28a−a22−88a+a−a22时，fx()在(0,)上递增，在(,)上递减，4442在(,)aa+−8+上递增，…………15分4{#{QQABCYIQogAIAIAAABhCUQVwCEIQkBEAACoGBAAIMAAByRFABAA=}#}17.（15分）解：22（1）连接DA,EA，DA1=1，AA1=2，D=A1A60，DE=+−=12212cos603.222满足DADA+=AA11，所以DAD⊥A1，即DAA⊥B.平面ABB11A⊥平面ABC，且交线为AB，由DAA⊥B，得DA⊥平面ABC.由BC平面ABC，得DAB⊥C，又DEB⊥C，且DADED=，所以BC⊥平面DAE.由AE平面DAE，得BC⊥AE.设BEt==CE,3t，有BA2222tA−C=t−(3)，解得：t=1.222所以BC=4，满足BA+=ACBC，即AC⊥AB，所以AC⊥平面ABB11A.由BB1平面ABB11A，得ACB⊥B1.…………8分（2）以A为坐标原点，ABAC,,AD为x,,yz轴的正方向建立空间直角坐标系.D(0,0,3)，E(,3,0)3，A(1,0−,3)，221DA=−(1,0,0)，EA=−(,−,3)53.1122设平面DEA1的法向量n=(,,)xyz，−=x0n=DA10由，即3，n=EA0−5x−y+30z=122取z=1，得到平面PBD的一个法向量n=(0,2,1).又BB11=AA=(−1,0,3)，设直线BB1与平面DEA1所成角的大小为，||nBB则sin=|cosn,BB|=1=3=15.110|n||BB1|5415所以直线BB与平面DEA所成角的正弦值为.…………15分111018.（17分）解：（1）设A(,),(,x1y1Bx2y2),(,PxPPy).22由yx=，得yx'2=，所以l1方程为：y=2x1(x−x1)+y1，整理得：y=−2x11xx.2同理，l2方程为：y=−2x22xx.xx+联立得：x=12，y=xx.P2P12设直线AB的方程为y=k(x−1)+2，与抛物线方程联立得：x2−kx+k−20=故x+=xk，xx=−k2，所以x=k，yk=−2，有yx=−22.1212P2PPP所以点P在定直线yx=−22上.…………6分{#{QQABCYIQogAIAIAAABhCUQVwCEIQkBEAACoGBAAIMAAByRFABAA=}#}xx（2）在ll,的方程中，令y=0，得MN(,012),(,0)，1222所以PMN面积SMNyxxxx==−=11|||||()|2.24P12122222故()x(1212x)x−=32x，带入可得：(48)(44)32kkkk−+−+=.[(2)8][(2)4]0kk−+−−=22，解得：k=0或k=4.所以点P的坐标为(0,2−)或(2,2).…………11分1x111（3）抛物线焦点F(0,)，由M(,0)得直线MF斜率kMF=−=−，422xk1MP所以MFM⊥P，同理NFN⊥P，所以PF是外接圆的直径.若点T也在该圆上，则TFT⊥P.74由k=，得直线TP的方程为：yx=−−+(1)2.TF47又点P在定直线yx=−22上，1614联立两直线方程，解得点P的坐标为(,).…………17分9919.（17分）解：（1）PX()k(1p=)p=−k−1，nkpppppnp(1)[12(1)3(1)...(1)]−=+−+−++−kn−−121，k=121n−记Sn=1+2(1−p)+3(1−p)+...+n(1−p)，21nn−则(1−p)Sn=−+−++−−(1p)2(1p)...(n1)(1p)+−n(1p)，21nn−相减得：pSn=1+(1−p)+(1−p)+...+(1−p)−n(1−p)1−(1−pp)nn1−(1−)=−n(1−p)nn=−n(1−p)1−−(1pp)n1−−(1p)n1由题意：E(X)=lim(pSn)=lim[−n(1−p)]=.…………5分nn→→pp2（2）（i）E2=(1−p)(E2+1)+p2+p(1−p)(E2+2).1+p解得：E=.…………8分2p2（ii）期待在En−1次试验后，首次出现连续(n−1)次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为(En−1+1)；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是En，此时总的试验次数为(EEnn−1++1).即En=p(En−−11+1)+(1−p)(En+1+En).整理得：EE=+1(1)，即EE+1=1()+1.nnp−1nn11−−pp−1p所以EE+1=1()+1.n11−−pppn−11由（1）知E=1，1p1−pn代入得：E=.…………17分n(1−pp)n{#{QQABCYIQogAIAIAAABhCUQVwCEIQkBEAACoGBAAIMAAByRFABAA=}#}