重庆市乌江新高考协作体2024届高三下学期模拟监测（一）数学

重庆市乌江新高考协作体2024届高考模拟监测（一）数学试题（分数：150分，时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合M0,1,2,Nx|x23x0，则MN（）A．0,1,2B．1,2C．{x∣0x3}D．{x∣0x3}1i2．若i为虚数单位，复数z，则z（）iA．1iB．1iC．1iD．1iS103．已知等比数列an的前n项和为Sn,a1a212且a1,a26,a3成等差数列，则为（）S5A．245B．244C．242D．2414．洪崖洞是具有重庆特色的吊脚楼式建筑，它的屋顶可近似看作一个多面体，右图是该屋顶的结构示意图，其中四边形ABFE和四边形DCFE是两个全等的等腰梯形，AB//CD//EF,△EAD和△퐹퐵퐶是两个全等的正三角形．已知该多面体的棱BF与平面ABCD成的角45，AB20,BC8，则该屋顶的侧面积为（）A．80B．803C．160D．1603515．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金2x2y2椭圆方程为1，(ab0)，若以原点O为圆心，短轴长为直径作⊙푂,푃为黄金椭圆上除顶点外任意a2b2b2a2一点，过P作⊙푂的两条切线，切点分别为A,B，直线AB与x,y轴分别交于M,N两点，则|OM|2|ON|2（）11A．B．C．D．xy20,6．在不等式组xy20,所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均大y2,于1的概率是（）A．B．4C．1D．182847．已知sin2cos与cos2sin都是非零有理数，则在sin，cos，tan中，一定是有理数的有（）个.A．0B．1C．2D．3a,abb,ab8．定义maxa,b,mina,b，对于任意实数x0,y0，则b,aba,ab11minmax2x,3y,22的值是（）4x9yA．32B．2C．3D．33二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。9．已知a0，b0，且ab2，则（）221ab2A．ab2B．24C．log2alog2b0D．ab0410．已知fxx2xlnx2，gxfxex，则（）1A．函数fx在,1上的最大值为3B．x0，fx24C．函数gx在3,4上没有零点D．函数gx的极值点有2个2x211．已知双曲线C:y1的左、右焦点分别为F，F2，左、右顶点分别为M，N，O为坐标原点，21直线l交双曲线C的右支于P，Q两点（不同于右顶点），且与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，则（）A．OAOB为定值B．PABQC．点P到两条渐近线的距离之和的最小值为2D．不存在直线l使MPMQ0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知正三角形ABC的边长为2，点D满足CDmCAnCB，且m0，n0，2mn1，则|CD|的取值范围是.13．从教学楼一楼到二楼共有11级台阶（从下往上依次为第1级，第2级，L，第11级），学生甲一步能上1级或2级台阶，若甲从一楼上到二楼使用每一种方法都是等概率的，则甲踩过第5级台阶的概率是．14．若函数f(x)xex(m1)e2x存在唯一极值点，则实数m的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形．(1)求证：平面BCD平面ACE；(2)若AE2，AC2，BC23，求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值.216．已知幂函数fxxm2m3mZ为奇函数，且在区间0,上是严格减函数.(1)求函数yfx的表达式；1(2)对任意实数x,1，不等式fxt4x恒成立，求实数t的取值范围.217．三峡之巅景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．(2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（m>2且mN*）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p．（i）试用含m的代数式表示p；（ii）若一共询问了5组，用gp表示恰有3组被标为B的概率，试求gp的最大值及此时m的值．x2y218．已知椭圆E:1(ab0)的左、右顶点分别为A,B,Ca,2b,Da,2b，直线AC的斜率为a2b214，直线AC与椭圆E交于另一点G，且点G到x轴的距离为．23(1)求椭圆E的方程．(2)若点P是E上与点A,B不重合的任意一点，直线PC,PD与x轴分别交于点M,N．k2k1①设直线PM,PN的斜率分别为k1,k2，求的取值范围．k1k2②判断AM|2BN|2是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．19．重庆江北国际机场T3B航站楼预计于今年完工，该建筑的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线C:yf(x)上的曲线段퐴퐵，其弧长为s，当动点从A沿曲线段퐴퐵运动到B点时，A点的切线lA也随着转动到B点的切线lB，记这两条切线之间的夹角为（它等于lB的倾斜角与lA的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角Δ固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K为曲线段퐴퐵的平均曲率；显然当B越接近A，Δs即s越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线yf(x)在点(x,f(x))处的曲率Δt(x)Klim计算公式为Δx0Δs3，其中t(x)f(x)．1f(x)22(1)求单位圆上圆心角为60的圆弧的平均曲率；1(2)已知函数f(x)(x0)，求曲线yf(x)的曲率的最大值；x232xx21(3)已知函数g(x)6xlnx2ax9x,h(x)2xe4eax,a0,，若g(x),h(x)曲率为0时x的最小值e28x13分别为x1,x2，求证：e．ex2重庆乌江新高考协作体2024届高考模拟监测（一）数学答案（分数：150分，时间：120分钟）1．C2．D3．B4．D5．A6．C7．D【分析】令2sin+1cosm,1sin2sin1n，分别用m,n表示sin，cos，tan，进而求得在sin，cos，tan中一定是有理数的个数.111118．A【分析】设max{2x,3y,22}M，则3M2x23y2，构造函数f(x)x(x0)，利用导4x9y(2x)(3y)x263M数求出函数f(x)的最小值进而得2，化简即可求解.239．AB【分析】根据基本不等式可判定A，根据指数函数的单调性可判定B，根据基本不等式、对数运算及对数函数单调性可判断C，根据二次函数的性质可判断D.10．AC【分析】求函数fx的导数，得fx2xlnx1，x0.因为fx在0,上递增，根据函数1e2,e1x,1零点的存在性判断零点在之间，设为0，再代入计算可以求出函数在上的最值，判断AB的4真假；求gx的导数，得gx2xlnx1e，x0，利用其单调性得gx0至多一解，可判断D；再根据函数零点的存在性，可判断C的真假.11．BD【分析】对于A，根据OAOB|OA||OB|cosAOB，取垂直于x轴的直线，结合条件可判断A；2km对于B，设直线l的方程为xkym，利用韦达定理可得yy，联立直线与渐近线方程，可分QPk22别解得yA，yB，结合弦长公式可判断B；对于C，设P(x0,y0)，可得P到两渐近线距离可判断C；由题可π得PMQ恒成立可判断D.212．1,21313．1814．,115．（1）∵AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，∴BCAC．∵四边形OAED为矩形，OD平面ABC，∴AE//OD，AE平面ABC，又BC平面ABC，∴AEBC，又∵AEACA，AE平面ACE，AC平面ACE，∴BC平面ACE．又BC平面BCD，∴平面BCD平面ACE．（2）以C为坐标原点，AC，BC所在直线分别为x，y轴，过点C且与OD平行的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则C0,0,0，A2,0,0，D1,3,2，E2,0,2，AE0,0,2，ED1,3,0，CE2,0,2．AEn102z10设平面ADE的法向量为n1x1,y1,z1，则，即，EDn10x13y10y1n3,1,0令1，得x13，所以1．CEn202x22z20设平面CDE的法向量为n2x2,y2,z2，则，即，EDn20x23y20y1n3,1,6令2，得x23，z26，所以2，n1n23110所以cosn1,n2，5n1n221010所以平面ADE和平面CDE夹角的余弦值为．516．（1）依题意f(x)为奇函数，在区间(0,)上是严格减函数，可得m22m30，解得1m3，由于mZ,故m0，1，2，当m0和m2时，m22m33，此时f(x)x3为奇函数，符合要求，当m1时，m22m34，此时f(x)x4为偶函数，不符合要求，f(x)x3；（2）不等式f(x)t4x，即tx34x，1又f(x)x3在(0,)上是减函数，y4x在R上为增函数，则g(x)x34x在[,1]上为减函数，所以21g(x)g()6，则t6，所以实数t的取值范围为[6,)．max217．（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为3:5:2，所以这10人中，购买单程上山票、352单程下山票和双程票的人数分别为：103，105，102，10101022C7C33故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率P4．C1010222（2）（i）从m2人中任选2人，有Cm2种选法，其中购票类型相同的有CmC2种选法，则询问的某组222CmC2mm24m被标为B的概率p12122．Cm2m3m2m3m233232345（ii）由题意，5组中恰有3组被标为B的概率g(p)C5p(1p)10p(12pp)10(p2pp)，所以g(p)10(3p28p35p4)10p2(p1)(5p3)，0p1，3所以当p0,时，gp0，函数gp单调递增，