2024届福建省厦门市高三下学期第四次质量检测考试数学试题+答案

{#{QQABCYQAgggAQJIAARgCQQFQCgMQkBGAACoOwBAMMAIACQNABCA=}#}{#{QQABCYQAgggAQJIAARgCQQFQCgMQkBGAACoOwBAMMAIACQNABCA=}#}{#{QQABCYQAgggAQJIAARgCQQFQCgMQkBGAACoOwBAMMAIACQNABCA=}#}{#{QQABCYQAgggAQJIAARgCQQFQCgMQkBGAACoOwBAMMAIACQNABCA=}#}厦门市2024届高中毕业班第四次质量检查一、单选题1-4．ACAC5-8．CBDB二、多选题9．AD10．ABD11．ACD三、填空题ππ12．23；13．(,1)(1,)−−+；14．(,);62四、解答题Sn15．设S为数列an的前n项和，已知aS24==2,10，且为等差数列．nn（1）求数列an为通项公式；an,为奇数,n（2）若数列bn满足bn=1求数列bn的前2n项和T2n．，n为偶数,anan+2Sn解析：（1）设等差数列的公差为d，因为aS11==1，nSS101所以41−=3d，即−=13d，d=，.......................................................2分4142S1nn(1)+所以n=+1(1)n−，即S=，.............................................................3分n2n2nn(1)(1)+−nn当n≥2时，aSS=−=−=n，............................................5分nnn−122当n=1时，a1=1，满足上式，所以ann=．..........................................................................................................6分nn,为奇数,（2）由（1）知bn=1...........................................................7分，n为偶数,nn(+2)则Tbbbb2135212462nn=++()()+−+++bbbb+n...............................................8分1111=++(135+2n−+1)(+++).............................9分2446682nn+(22)nn(1+−21)1111111=+−+−++−()...........................................11分222446222nn+11=+−n2.......................................................................................................13分44n+411所以数列b的前2n项和为Tn=+−2．n2n44n+416．（15分）某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：不达标达标合计男300女100300{#{QQABCYQAgggAQJIAARgCQQFQCgMQkBGAACoOwBAMMAIACQNABCA=}#}合计450600（1）完成22列联表．根据小概率值=0.01的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关联？4（2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体52能测试合格的概率为，以频率估计概率，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测5试，求3人中合格的人数X的分布列及期望．nadbc(−)2（x对应值见下表．2=，nabcd=+++)(abaccdbd++++)()()()01．005．001．x2．7063841．6．635方法一：（1）22列联表如下表：不达标达标合计男50250300女100200300合计150450600......................................................................................................................................1分零假设为H0：体育锻炼达标与性别独立，即体育锻炼达标与性别无关．.........................2分2600(50−200250100)2002==22.2226.635.....................................5分3003001504509根据小概率值=0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为体育锻炼达标与性别有关联，该推断犯错误的概率不超过0.01．......................................................................6分（2）设事件A=“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件B=“随机抽取一人体能测试合3142格”，则PA()=，PB()=，PB(|)A=，PB(|)A=.....................................8分44557所以PB()=+=PAPB()(|A)PAPB()(|A)..................................................10分10X的可能取值为：0，1，2，3.....................................................................11分327PX(==0)()3=10100037189PX(1)()()==C12=...........................................................................12分31010100037441PX(==2)C22()()=3101010007343PX(3)()==3=......................................................................................13分101000所以X的分布列为X0123{#{QQABCYQAgggAQJIAARgCQQFQCgMQkBGAACoOwBAMMAIACQNABCA=}#}27189441343P100010001000100027189441343所以EX()=0+1+2+3=2.1．............................15分1000100010001000方法二：（1）同方法一（2）设事件A=“随机抽取一人体育锻炼达标”，事件B=“随机抽取一人体能测试合3142格”，则PA()=，PB()=，PB(|)A=，PB(|)A=.....................................8分44557所以PB()=+=PAPB()(|A)PAPB()(|A)..................................................10分107因为XB(3,).................................................................................................12分1037所以PX()()(),0,1,2,3==kCkkk3−k=.......................................................14分310107所以EX()=3=2.1．..................................................................................15分1017．如图，在四棱台ABCD−A111BCD1中，底面ABCD是边长为2的正方形，BC11=1．（1）证明：AA1∥平面BDC1；（2）若AA1⊥BD，BC11==CC2，求平面BC1D与平面B11CD所成角的余弦值．方法一：（1）由棱台定义可知AA1与CC1共面，且平面ABCD∥平面ABCD1111．......................................................................................................................................1分又平面ABCD平面ACC11A=AC，平面ABCD1111平面ACC11A=AC11，所以AC∥AC11．.........................................................................................................2分连接AC交BD于点O，则O为AC中点．因为BC==22B11C，所以AC11=AO.................................................................3分所以四边形AAOC11是平行四边形，所以AA11∥OC．...........................................4分又AA1平面BDC1，OC1平面BDC1，所以AA1∥平面BDC1.......................5分（2）在正方形ABCD中，BD⊥AC，又BD⊥AA1，ACAA1=A，所以BD⊥平面ACC11A．.........................................................................................6分因为OC1平面ACC11A，所以BD⊥OC1在Rt△BOC1中，=BOC190，BO=2，BC1=2，所以OC1=2．......8分222在△OCC1中，OC==OC12，CC1=2，所以OC+=OC11CC，所以OC⊥OC1．........................................................................................................9分以O为原点，分别以OB，OC，OC1为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．2222B(2,0,0)，D(−2,0,0)，C(0,2,0)，B(,−,2)，D(,,2)−−，122122232所以BD=−(2,0,0)，BC=−(,,2)−．...........................................10分11122设平面B11CD的法向量为nxyz=(,,)，{#{QQABCYQAgggAQJIAARgCQQFQCgMQkBGAACoOwBAMMAIACQNABCA=}#}nBD=110x=0则，即，320yz−=nBC=10令y=2，则z=3，所以n=(0,2,3)，..................................................................12分又因为平面BC1D的法向量m=(0,1,0)，..............................................................13分mn213所以cosm