辽宁协作校2023-2024学年高三下学期三模数学答案

2023—2024学年度下学期高三第三次模拟考试试题数学参考答案一、1.D2.A3.B4.A5.C6.D7.B8.C二、9.ACD10.BC11.AD三、12.112.513.2π14.①②④四、15（.1）证明：连接CM∵AB∥CD，AB=2CD=4，M是AB中点∴AM∥CD且AM=CD∴四边形AMCD是平行四边形∴CM∥AD又∵QC∥AP，QC⋂MC=C，AP⋂AD=A∴平面QMC∥平面PAD又∵QM⊂平面QMC∴QM∥平面PAD……3分（2）证明：∵QC∥AP，AP⊥平面ABCD∴QC⊥平面ABCD∵CD⊂平面ABCD∴QC⊥CDM是AB中点∴AM∥CD且AM=CD又∵∠ADC=π，2∴平行四边形AMCD为正方形∴CD⊥MC又∵MC⋂QC=C∴CD⊥平面QCM∵QM⊂平面QCM∴CD⊥QM……7分QQzPPyDCDCxABMAMB（3）∵AP⊥平面ABCD，四边形AMCD是正方形高三数学（三模答）—1∴AB，AD，AP两两垂直建立直角坐标系，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴B(4,0,0),Q(2,2,3),P(0,0,2),D(0,2,0)设平面PQB的法向量n=(x,y,z)111BP=(-4,0,2),BQ=(-2,2,3)-4x+2z=0z=2x11，11，当x=1时，法向量n=(1,-2,2)……9分{-2x+2y+3z=0{y=-2x111111设平面PQD的法向量m=(x,y,z)222PD=(0,2,-2),PQ=(2,2,1)ìy2=z22y2-2z2=0ï，í3，当z2=2时，法向量m=(-3,2,2)……11分{2x+2y+z=0ïx=-z222î222所以平面BPQ与平面DPQ夹角的余弦值为：|||||n∙m|-3-4+417|cosn,m|=||=||=……13分||n||m|||1+4+49+4+4|1716.解：（1）因为3b2-a2-c2=2ac，所以3b=a+c，由正弦定理得，3sinB=sinA+sinC.……2分因为2C+B=2π，所以C=π-B，同时A=π-(C+B)=π-[(π-B)+B]=2π-B3323232则3sinB=sin(2π-B)+sin(π-B)……4分3232333sinB=cosB-(-1)sinB+cosB-1sinB222222223sinB=3cosB2即2sinBcosB=cosB222又因为B∈(0,π)，所以cosB≠0，所以sinB=1，故B=π.……6分2223（2）由（1）可知，C=π-B=π，A=2π-π=π，所以△ABC是直角三角形，326362又a=2，所以c=1，b=3.……8分设|BP|=m，|BQ|=n，又S=1S，ΔBPQ2ΔABC33所以1mnsin60°=1×(mn)=，所以mn=1.……11分2224在△BPQ中，由余弦定理和均值不等式可知，2|PQ|=m2+n2-2mncosπ=m2+n2-1≥2mn-1=13当且仅当m=n=1时，等号成立，|PQ|取得最小值1.3此时，△BPQ是边长为1的等边三角形，易求得点B到直线PQ的距离为.……15分217.解：（1）f′(x)=1-(1+ax)eax，………1分由题意，f′(1)=1-(1+a)ea=1-2e，整理得(1+a)ea=2e，……2分令g(x)=(1+x)ex，所以g′(x)=(2+x)ex所以当x<-2时，g′(x)<0，g(x)单调递减，且g(x)<0，高三数学（三模答）—2当x>-2时，g′(x)>0，g(x)单调递增，又g(-2)=-e-2<0，g(-1)=0，g(1)=2e……6分所以关于a的方程(1+a)ea=2e只有一个根，即a=1.……7分（2）由（1）问可知f(x)=x(1-ex)，所以f′(x)=1-(1+x)ex，令h(x)=1-(1+x)ex=1-g(x)进而可知h(x)在区间(-∞,-2)上单调递增，在区间(-2,+∞)上单调递减且h(-2)=1+e-2>0，x<-2时，h(x)>0，h(0)=0所以x<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(-∞,0)上单调递增，x>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，当x=0时，f(x)取得最大值f(0)=0所以f(x)的值域为(-∞,0].……10分又由题意n=f(m)，所以f(m)-f(n)=n-f(n)=n-n(1-en)=nen，n∈(-∞,0]令t(x)=xex，x∈(-∞,0]所以t′(x)=(1+x)ex，当x=-1时，t′(-1)=0当x∈(-∞,-1)时，t′(x)<0，t(x)在区间(-∞,-1)单调递减，当x∈(-1,0]时，t′(x)>0，t(x)区间(-1,0]单调递增，所以当x=-1时，t(x)取得最小值-1，……13分e当x∈(-∞,-1)时，t(x)<0，当x→-∞时，t(x)→0，且t(0)=0，所以t(x)的值域为[-1,0]，e所以f(m)-f(n)的取值范围是[-1,0].……15分e18.解：（1）由题随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4.C0C2C0C3P(x=0)=22×24=12330C4C6C1C1C0C3C0C2C1C2P(x=1)=22×24+22×24=7232330C4C6C4C6C0C2C2C1C1C1C1C2C2C0C0C3P(x=2)=22×24+22×24+22×24=723232315C4C6C4C6C4C6C2C0C1C2C1C1C2C1P(x=3)=22×24+22×24=7232330C4C6C4C6C2C0C2C1P(x=4)=22×24=1……5分2330C4C6∴X的分布列为X0123417771P3030153030∴数学期望E(X)=0×1+1×7+2×7+3×7+4×1=2.……7分3030153030（2）1甲、乙两同学被同伴选择的概率均为1.其他三名同学被选择的概率相等.比赛由3甲同学起稿建立模型，第三次交流中甲被选择，所以第二次交流中甲未参与.设A=“第三次交高三数学（三模答）—3流中甲被选择”，则P(A)=1×2×1+2×1×1+2×1×1=6=2.……11分3333333332792第n次(n≥2,n∈N∗)交流中甲被选择，则第n-1次交流中甲未被选择.设第n次交流中甲被选择的概率为Pn则P=(1-P)×1=-1P+1……13分nn-133n3P-1=-1(P-1)……15分n43n-14P1=0.P-1=(P-1)×(-1)n-1=(-1)(-1)n-1n414343∴P=1é1-(-1)n-1ù……17分n4ë3û19.解：（1）当M的坐标为(-1,3)时，设过M点的切线方程为y-3=k(x+1)，与y2＝4x联22y2立，得y-3=k(+1)，整理得ky2-y+k+3=0，2442令Δ=1-4∙k(k+3)=0，解得k=-2或k=1，422分别代入方程得y=-1和y=4，故得A(4,4)，B(1,-1)，……2分4同时可求得直线MA的方程为y=1x+2，直线MB的方程为y=-2x-1，22进而可知kMA∙kMB=-1，即直线MA与直线MB互相垂直，则过M，A，B三点的圆的直径为线段AB，设该圆上任一点P的坐标为(x,y)，则AP=(x-4,y-4)，BP=(x-1,y+1)4所以AP∙BP=(x-4)æx-1ö+(y-4)(y+1)=0è4ø从而过M，A，B三点的圆的一般方程为x2+y2-17x-3y-3=0．4（圆的标准方程:(x-17)2+(y-3)2=625）……4分8264（2）设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过抛物线上点A(x1，y1)的切线方程为y-y1=k(x-x1)，与y2＝4x联立，整理得ky2-y-kx+y=0，411k2Δ=1-4∙(-kx1+y1)=0，所以k=，……6分4y122y1又因为y1=4x1，从而过抛物线上点A(x1，y1)的切线方程为y-y1=(x-)，y14即y1y=2(x+x1)，同理可得过点B(x2，y2)的切线为y2y=2(x+x2)，又切线MA，MB都过点M(x0，y0)，所以得y1y0=2(x0+x1)，y2y0=2(x0+x2)即点A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足方程y0y=2(x0+x)，故直线AB的方程为y0y=2(x0+x)……8分设M(x0，y0)，其为直线l:x=-m(m>0)上任意一点，故y0y=2(x-m)对任意y0成立，从而直线AB恒过定点(m,0).……9分y2（3）由（2）知y，y是方程yy=2(x+)的两实根，12004高三数学（三模答）—4y+y=2y故有120，……10分{yy=4x120y2y2又x=1，x=2，x=-m142402222所以MA∙MB=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=4m+my0-4m-y0=(m-1)(y0+4m)①当m=1时，MA∙MB=0，直线l上任意一点M均有MA⊥MB，△MAB为直角三角形；……12分②当0π，△MAB不可能为直角三角形；……13分2③当m>1时，MA∙MB>0，∠AMB<π，2y1-y24222因为kAB===，kMA==2x1-x2y1+y2y0y1y0+y0-4x022所以kAB∙kMA=∙2y0y0+y0-4x0222若kAB∙kMA=-1，则∙=-1，整理得(x0+2)y0=-4，2y0y0+y0-4x02又因为x0=-m，所以(m-2)y0=4，2因为方程(m-2)y0=4有解的充要条件是m>2，所以当m>2时，有MA⊥AB，（MB⊥AB的情况同理），所以△MAB为直角三角形.综上所述，当m=1时，直线l上任意一点M，使△MAB为直角三角形，当m>2时，直线l上存在两点M，使△MAB为直角三角形；当0