2024届湖北省荆州中学高三下学期第三次适应性考试 数学答案

荆州中学2021级高三第三次适应性考试数学试卷参考答案1234567891011BDACDDCAABCABCAC8.设的中点为，设，则，得，则，设直线的倾斜角为，又，所以，可得，所以直线的倾斜角为，则的斜率为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，11.设点，由已知得，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A正确；又离心率，故B不正确；圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为，又圆的半径为1，故C正确；直线与曲线的方程联立整理得，设，，且，有，所以，要满足，则需，解得或或，当,此时，而曲线E上，所以满足条件的直线有两条，故D不正确，故选：AC.14.记事件“抽取学生是勤生”，事件“抽取学生是懒生”，事件“抽取学生流下了悔恨的泪水”，则依题意有，同理，故所以证明：（1）；，……………………………………………………3分……………………………6分…………………………………………...7分……………………………………………………………..8分………………………………9分……………………………….14分（错位相减法操作程序到位，结果不对可以给到12分，建议只扣2分）……………………………………………………15分16.(1)证明 如图，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\r(3)…………1分由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝eq\r(3)，且EG⊥AC……………………………………………………………2分在Rt△EBG中，可得BE＝eq\r(2)，故DF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△FDG中，可得FG＝eq\f(\r(6),2).在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝eq\r(2)，DF＝eq\f(\r(2),2)，可得EF＝eq\f(3\r(2),2)，……………4分从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC……………………………………………………………………7分(2)解 如图，以G为坐标原点，分别以eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(GC,\s\up6(→))的方向为x轴，y轴正方向，|eq\o(GB,\s\up6(→))|为单位长度，建立空间直角坐标系G－xyz，…………………………………………………………………………8分由(1)可得A(0，－eq\r(3)，0)，E(1，0，eq\r(2))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(\r(2),2)))，C(0，eq\r(3)，0)……………………………………………………………………………………9分所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，eq\r(2))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\r(3)，\f(\r(2),2))).故cos〈eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AE,\s\up6(→))·\o(CF,\s\up6(→)),|\o(AE,\s\up6(→))||\o(CF,\s\up6(→))|)＝－eq\f(\r(3),3)………………………………………………………………14分所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为eq\f(\r(3),3)………………………………………………………15分17.解：（1）依题意知甲、乙两人所付费用相同时，可能是元或元或元…………………….1分甲滑雪2小时以上，3小时以内的概率为，乙滑雪2小时以上，3小时以内的概率为，………………………………………..2分所以两人付费均为元的概率为，……………………………………………………..3分两人付费均为元的概率为………………………………………………………4分两人付费均为元的概率为……………………………………………..5分所以，甲、乙两人所付费用的概率为………………………..6分（2）的所有可能取值为：，…………………………………………………………7分则………………………………………………………………………….8分…………………………………………………………………………………10分所以，随机变量的分布列如下表所示：04080120...........................................................................................................................................................................11分……………………………………………13分……………………………………………………………………………………………………………………….15分解：（1）设AB的中点为P，切点为Q，连接OP，PQ，取B关于y轴的对称点D，连接AD则，故所以点A的轨迹是以B，D为焦点，长轴长为4的椭圆.其中则曲线C的方程为………………………………………………………………4分（2）……………………………………….6分……………..8分解得，……………………………………………………………………………….9分…………………………………………………………………10分（3）易得，…………………………………………….12分…………………………………………………13分而……………………..16分所以，即定值为………………………………………..17分19.解：（1）当时，，故，…………………1分所以，又，…………………………………………………………………..2分所以，曲线在点处的切线方程为……………………3分斜截式方程为………………………………………………………………………4分（2）当时，，故，令，则，显然，在单调递增，且时，………………6分则在单调递增，而所以时，.，则所以在上递减，易知在上递增……………………………………………………8分又所以当时，有唯一零点……………………………………………….9分（3）证明：，、…………………………11分………………14分证明对恒成立（要写过程）………………………………………………..15分证明对恒成立（要写过程）…………………………………………………16分从而有又