妙解高考数学填选压轴题专题33 与导数相关的极值、最值-妙解高考数学填选压轴题

2023-11-19 · 12页 · 484.6 K

专题33与导数相关的极值、最值【方法点拨】1.极值问题转化为(二次)方程根的问题,为求某个表达式的范围,其难点在于消元、新元的范围.2.利用导数解决函数零点问题的方法:(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图象,然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用;(2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;(3)参变量分离法:由分离变量得出,将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.【典型题示例】例1(2022·全国乙卷·17)已知和分别是函数(且)的极小值点和极大值点.若,则a的取值范围是____________.【答案】【分析】由分别是函数的极小值点和极大值点,可得时,,时,,再分和两种情况讨论,方程的两个根为,即函数与函数的图象有两个不同的交点,且满足时,,时,,求出函数与函数相切时a的值,结合图象即可得出答案.【解析】,因为分别是函数的极小值点和极大值点,所以函数在和上递减,在上递增,所以当时,,当时,,若时,当时,,则此时,与前面矛盾,故不符合题意(如下图左立知)若时,设函数与函数的图象的切点为,则,得即,代入①得,解得(不合题意,舍去),或此时,当增大时,函数与函数的图象有两个不同的交点(如上图右),又,所以,综上所述,的范围为.例2已知在上恰有两个极值点,,且,则的取值范围为()A. B.C.D.【答案】D【分析】由题意得导函数在区间有两个零点,根据二次函数性质可得,由根与系数的关系可得以及,求出的表达式,将用表示,表示为关于的函数,利用导数与单调性的关系即可求出结果.【解析】由题意得,令,得,由题意知在上有两个根,,∴,得.由根与系数的关系得,由求根公式得,∵,∴,∵,∴.则,令,则.设,则,易知在上单调递增,∴,∴当时,函数为减函数,∴,且,∴,故选:D.点评:1.根据极值点的概念,结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数的取值范围,以及与之间的关系;2.将题意转化为关于的函数,构造出,利用导数判断单调性.例3已知,是函数,的两个极值点,若,则的取值范围为 .【答案】【分析】先由题得所以,化简得=,再构造函数,利用导数求函数的值域即得解.【解析】()∵,是函数的两个极值点∴是两个根,由韦达定理得,且故,所以令,则由,所以在单调递减,又当时,,,所以函数g(x)的值域为.即的取值范围为.点评:解决以极值为背景的范围问题,关键点有二,一是减元,二是构造函数,最终转化为区间上的最值问题.例4已知函数(aR)的最小值为2,则实数的值是_________.【答案】或【解析】∵,当a≤0时,,∴是(0,)上的减函数,∴函数无最小值,舍去;当a>0时,由得,,∴在(0,)上单调递减,在(,)上单调递增,∴函数的最小值为,由,得,解得或.【巩固训练】1.设函数有两个极值,实数的取值范围是____________.2.若函数在和两处取得极值,且,则实数a的取值范围是.3.已知函数有两个不同的极值点,,若不等式恒成立,则实数的取值范围是.4.已知函数(其中a为常数),设函数有两个极值点,若恒成立,求实数的取值范围.5.已知函数f(x)=lnx+ax2+bx(其中a,b为常数且a≠0)在x=1处取得极值,若f(x)在(0,e]上的最大值为1,则a的值为.6.设函数恰有两个极值点,则实数的取值范围是 A. B., C. D.,7.(2022·全国乙卷·17改编)已知和分别是函数(且)的极大值点和极小值点.若,则a的取值范围是____________.【答案或提示】1.【答案】(,0)【解析】∵,若函数有两个极值,则,解得,故a的取值范围是(,0).2.【答案】[,)【解析】∵函数在和两处取得极值,且∴方程有两个根和,且考虑函数和的图象,利用导数,不难得到时,方程有两个根进一步的,由构造函数,可知在区间上减,在区间上增,且∴,即,解之得∴,故综上得:实数a的取值范围是.3.【答案】【解析】不难得出:,,(下略).4.【答案】【解析】,若有两个极值点,则是方程的两个不等正实根,易知.则,故,要使恒成立,只需恒成立.因为令,则,当时,,为减函数,所以.由题意,要使恒成立,只需满足.所以实数的取值范围.5.【答案】a=eq\f(1,e-2)或a=-2【解析】因为f(x)=lnx+ax2+bx,所以f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=eq\f(1,x)+2ax+b,因为函数f(x)=lnx+ax2+bx在x=1处取得极值,所以f′(1)=1+2a+b=0,b=-2a-1f′(x)=eq\f(2ax2-2a+1x+1,x)=eq\f(2ax-1x-1,x)(x>0),令f′(x)=0,得x1=1,x2=eq\f(1,2a),因为f(x)在x=1处取得极值,所以x2=eq\f(1,2a)≠x1=1.①当a<0,即eq\f(1,2a)<0时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减,所以f(x)在区间(0,e]上的最大值为f(1),令f(1)=1,解得a=-2.②当a>0,即x2=eq\f(1,2a)>0时,若eq\f(1,2a)<1,f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2a))),[1,e]上单调递增,在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a),1))上单调递减,所以最大值可能在x=eq\f(1,2a)或x=e处取得,而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)))=lneq\f(1,2a)+aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)))2-(2a+1)·eq\f(1,2a)=lneq\f(1,2a)-eq\f(1,4a)-1<0,令f(e)=lne+ae2-(2a+1)e=1,解得a=eq\f(1,e-2).若1<eq\f(1,2a)<e,f(x)在区间(0,1),eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2a),e))上单调递增,在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(1,2a)))上单调递减,所以最大值可能在x=1或x=e处取得,而f(1)=ln1+a-(2a+1)<0,令f(e)=lne+ae2-(2a+1)e=1,解得a=eq\f(1,e-2),与1<x2=eq\f(1,2a)<e矛盾.若x2=eq\f(1,2a)≥e,f(x)在区间(0,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减,所以最大值可能在x=1处取得,而f(1)=ln1+a-(2a+1)<0,矛盾.综上所述,a=eq\f(1,e-2)或a=-2.6.【答案】【解析】求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点,分离参数得,令,,在递减,在递增,显然在取得最小值,作的图象,并作的图象,注意到,,(原定义域,这里为方便讨论,考虑,当时,直线与只有一个交点即只有一个零点(该零点值大于;当时在两侧附近同号,不是极值点;当时函数有两个不同零点(其中一个零点等于,但此时在两侧附近同号,使得不是极值点不合.故选:.7.【答案】【提示】方法同例1.

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