妙解高考数学填选压轴题专题33 与导数相关的极值、最值-妙解高考数学填选压轴题

专题33与导数相关的极值、最值【方法点拨】1.极值问题转化为(二次)方程根的问题,为求某个表达式的范围,其难点在于消元、新元的范围.2.利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.【典型题示例】例1(2022·全国乙卷·17)已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．【答案】【分析】由分别是函数的极小值点和极大值点，可得时，，时，，再分和两种情况讨论，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，且满足时，，时，，求出函数与函数相切时a的值，结合图象即可得出答案.【解析】，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，当时，，若时，当时，，则此时，与前面矛盾，故不符合题意（如下图左立知）若时，设函数与函数的图象的切点为，则，得即，代入①得，解得（不合题意，舍去），或此时，当增大时，函数与函数的图象有两个不同的交点（如上图右），又，所以，综上所述，的范围为.例2已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为（）A. B.C.D.【答案】D【分析】由题意得导函数在区间有两个零点，根据二次函数性质可得，由根与系数的关系可得以及，求出的表达式，将用表示，表示为关于的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.【解析】由题意得，令，得，由题意知在上有两个根，，∴，得．由根与系数的关系得，由求根公式得，∵，∴，∵，∴．则，令，则．设，则，易知在上单调递增，∴，∴当时，函数为减函数，∴，且，∴，故选：D.点评：1.根据极值点的概念，结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数的取值范围，以及与之间的关系；2.将题意转化为关于的函数，构造出，利用导数判断单调性.例3已知，是函数，的两个极值点，若，则的取值范围为 ．【答案】【分析】先由题得所以，化简得=，再构造函数，利用导数求函数的值域即得解.【解析】（）∵，是函数的两个极值点∴是两个根，由韦达定理得，且故，所以令，则由，所以在单调递减，又当时，，，所以函数g(x)的值域为.即的取值范围为.点评：解决以极值为背景的范围问题，关键点有二，一是减元，二是构造函数，最终转化为区间上的最值问题.例4已知函数(aR)的最小值为2，则实数的值是_________.【答案】或【解析】∵，当a≤0时，，∴是(0，)上的减函数，∴函数无最小值，舍去；当a＞0时，由得，，∴在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，∴函数的最小值为，由，得，解得或.【巩固训练】1.设函数有两个极值，实数的取值范围是____________.2.若函数在和两处取得极值，且，则实数a的取值范围是．3.已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是．4.已知函数（其中a为常数），设函数有两个极值点，若恒成立，求实数的取值范围．5.已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋bx(其中a，b为常数且a≠0)在x＝1处取得极值，若f(x)在(0，e]上的最大值为1，则a的值为．6.设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是 A． B．， C． D．，7.(2022·全国乙卷·17改编)已知和分别是函数（且）的极大值点和极小值点．若，则a的取值范围是____________．【答案或提示】1.【答案】(，0)【解析】∵，若函数有两个极值，则，解得，故a的取值范围是(，0).2.【答案】[，)【解析】∵函数在和两处取得极值，且∴方程有两个根和，且考虑函数和的图象，利用导数，不难得到时，方程有两个根进一步的，由构造函数，可知在区间上减，在区间上增，且∴，即，解之得∴，故综上得：实数a的取值范围是．3.【答案】【解析】不难得出：，，（下略）.4.【答案】【解析】，若有两个极值点，则是方程的两个不等正实根，易知．则，故，要使恒成立，只需恒成立．因为令，则，当时，，为减函数，所以．由题意，要使恒成立，只需满足．所以实数的取值范围．5.【答案】a＝eq\f(1,e－2)或a＝－2【解析】因为f(x)＝lnx＋ax2＋bx，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)＋2ax＋b，因为函数f(x)＝lnx＋ax2＋bx在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝1＋2a＋b＝0，b＝－2a－1f′(x)＝eq\f(2ax2－2a＋1x＋1,x)＝eq\f(2ax－1x－1,x)(x＞0)，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝eq\f(1,2a)，因为f(x)在x＝1处取得极值，所以x2＝eq\f(1,2a)≠x1＝1.①当a＜0，即eq\f(1,2a)＜0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f(x)在区间(0，e]上的最大值为f(1)，令f(1)＝1，解得a＝－2.②当a＞0，即x2＝eq\f(1,2a)＞0时，若eq\f(1,2a)＜1，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2a)))，[1，e]上单调递增，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)，1))上单调递减，所以最大值可能在x＝eq\f(1,2a)或x＝e处取得，而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)))＝lneq\f(1,2a)＋aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)))2－(2a＋1)·eq\f(1,2a)＝lneq\f(1,2a)－eq\f(1,4a)－1＜0，令f(e)＝lne＋ae2－(2a＋1)e＝1，解得a＝eq\f(1,e－2).若1＜eq\f(1,2a)＜e，f(x)在区间(0,1)，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)，e))上单调递增，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2a)))上单调递减，所以最大值可能在x＝1或x＝e处取得，而f(1)＝ln1＋a－(2a＋1)＜0，令f(e)＝lne＋ae2－(2a＋1)e＝1，解得a＝eq\f(1,e－2)，与1＜x2＝eq\f(1,2a)＜e矛盾．若x2＝eq\f(1,2a)≥e，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以最大值可能在x＝1处取得，而f(1)＝ln1＋a－(2a＋1)＜0，矛盾．综上所述，a＝eq\f(1,e－2)或a＝－2.6.【答案】【解析】求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，令，，在递减，在递增，显然在取得最小值，作的图象，并作的图象，注意到，，（原定义域，这里为方便讨论，考虑，当时，直线与只有一个交点即只有一个零点（该零点值大于；当时在两侧附近同号，不是极值点；当时函数有两个不同零点（其中一个零点等于，但此时在两侧附近同号，使得不是极值点不合．故选：．7.【答案】【提示】方法同例1.